Supondo que a função diferenciável z=f(x, y) é definida pela equação y z-x-y+x^2=3, determinar partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma função diferenciável definida pela equação . O conteúdo da matéria aqui é cálculo de derivadas parciais, especificamente usando derivação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a derivação implícita em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a partialpartial x(y z) - partialpartial x(x) - partialpartial x(y) + partialpartial x(x^2) = partialpartial x(3) . Lembre-se que y partial zpartial x - 1 - 0 + 2x = 0 é uma função de y partial zpartial x = 1 - 2x implies partial zpartial x = 1 - 2xy e , então ao derivar termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando:
Isso resulta em:
Isolando :

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação original em relação a partialpartial y(y z) - partialpartial y(x) - partialpartial y(y) + partialpartial y(x^2) = partialpartial y(3) :
z + y partial zpartial y - 0 - 1 + 0 = 0
Isso dá:
y partial zpartial y = 1 - z implies partial zpartial y = 1 - zy
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1 - 2xy
e
partial zpartial y = 1 - zy

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