Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial
deseja investir à uma taxa anual de
ao ano.
(a) Mostre que se a aplicação tiver redeimento uma única vez ao ano, então o capital
após
anos será dada por
.
(a) Mostre que se a aplicação tiver redeimento uma única vez ao ano, então o capital
Passo 1
Vamos lá! Você tem um investimento inicial de
reais e quer investir a uma taxa de juros anual de
. A questão pede para mostrarmos como, após
anos, o capital vai se transformar na fórmula
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de juros compostos, que é quando os juros são calculados sobre o valor inicial mais os juros acumulados de períodos anteriores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma taxa de juros de
ao ano. Isso quer dizer que, a cada ano, o valor do investimento aumenta em
em relação ao valor do ano anterior. Em termos matemáticos, isso é representado como
, onde
é a taxa de juros em forma decimal (por exemplo, 5% vira 0,05).
Passo 3
Agora, vamos ver como o capital cresce ano a ano. No primeiro ano, o capital
rende
, então no final do primeiro ano, o capital será:
No segundo ano, o capital inicial é
, e ele rende mais
sobre esse valor:
Passo 4
Continuando esse raciocínio, a cada ano que passa, multiplicamos o capital anterior por
. Assim, após
anos, teremos multiplicado
por
um total de
vezes. Isso gera a fórmula geral para o capital após
anos:
Resposta
Portanto, o capital após
anos é dado por: