Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial C_0 > 0 deseja investir à uma taxa anual de alpha % ao ano.
(a) Mostre que se a aplicação tiver redeimento uma única vez ao ano, então o capital C(t) após t anos será dada por C(t) = C0 (1 + alpha)^t.

Passo 1

Vamos lá! Você tem um investimento inicial de reais e quer investir a uma taxa de juros anual de . A questão pede para mostrarmos como, após anos, o capital vai se transformar na fórmula . Para resolver isso, vamos usar o conceito de juros compostos, que é quando os juros são calculados sobre o valor inicial mais os juros acumulados de períodos anteriores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma taxa de juros de ao ano. Isso quer dizer que, a cada ano, o valor do investimento aumenta em em relação ao valor do ano anterior. Em termos matemáticos, isso é representado como , onde é a taxa de juros em forma decimal (por exemplo, 5% vira 0,05).

Passo 3

Agora, vamos ver como o capital cresce ano a ano. No primeiro ano, o capital rende , então no final do primeiro ano, o capital será:
No segundo ano, o capital inicial é , e ele rende mais sobre esse valor:

Passo 4

Continuando esse raciocínio, a cada ano que passa, multiplicamos o capital anterior por . Assim, após anos, teremos multiplicado por um total de vezes. Isso gera a fórmula geral para o capital após anos:

Resposta

Portanto, o capital após anos é dado por:

Exercícios relacionados