Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial
deseja investir à uma taxa anual de
ao ano.
© Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo assim, o capital investido cresce continuamente á razão
em relação ao capital investido. Encontre uma expressão para o capital
após
anos.
© Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo assim, o capital investido cresce continuamente á razão
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um investidor que começa com um capital inicial
e quer investir a uma taxa anual de
. A parada é que os rendimentos estão sendo compostos de forma contínua, ou seja, o dinheiro está crescendo o tempo todo, sem interrupções. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de juros compostos contínuos, que envolve a função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o crescimento contínuo. Quando o dinheiro cresce de forma contínua, a taxa de crescimento é aplicada instantaneamente a todo o capital acumulado. Isso é diferente dos juros compostos que são calculados em períodos fixos, como mensal ou anualmente.
Passo 3
Para modelar isso matematicamente, usamos uma equação diferencial que descreve como o capital
muda ao longo do tempo
. A taxa de variação do capital em relação ao tempo é proporcional ao próprio capital:
Aqui,
é a taxa de juros contínua (em decimal, ou seja,
seria
).
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Essa é uma equação diferencial linear simples, e sua solução geral é uma função exponencial. Integramos ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial
:
Passo 5
Substituindo
de volta na equação, temos:
Agora, vamos isolar
exponenciando ambos os lados:
Resposta
A expressão para o capital após
anos é: