Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial C_0 > 0 deseja investir à uma taxa anual de alpha % ao ano.
© Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo assim, o capital investido cresce continuamente á razão alpha em relação ao capital investido. Encontre uma expressão para o capital C(t) após t anos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um investidor que começa com um capital inicial e quer investir a uma taxa anual de . A parada é que os rendimentos estão sendo compostos de forma contínua, ou seja, o dinheiro está crescendo o tempo todo, sem interrupções. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de juros compostos contínuos, que envolve a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o crescimento contínuo. Quando o dinheiro cresce de forma contínua, a taxa de crescimento é aplicada instantaneamente a todo o capital acumulado. Isso é diferente dos juros compostos que são calculados em períodos fixos, como mensal ou anualmente.

Passo 3

Para modelar isso matematicamente, usamos uma equação diferencial que descreve como o capital muda ao longo do tempo . A taxa de variação do capital em relação ao tempo é proporcional ao próprio capital:
Aqui, é a taxa de juros contínua (em decimal, ou seja, seria ).

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Essa é uma equação diferencial linear simples, e sua solução geral é uma função exponencial. Integramos ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial :

Passo 5

Substituindo de volta na equação, temos:
Agora, vamos isolar exponenciando ambos os lados:

Resposta

A expressão para o capital após anos é:

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