Sejam E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) bases de V^3 e v um vetor. Sabendo que as coordenadas (y1, y2, y3) de v na base F se relacionam com as coordenadas (x1, x2, x3) de v na base E da seguinte forma:
y1=2 x1-x2+x3 y2=x1-3 x3 y3=x2+2 x3
escreva:
(1) e1, e2 e e3 como combinação linear de f1, f2 e f3.
(2) f1, f2 e f3 como combinação linear de e1, e2 e e3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem duas bases e para o espaço vetorial . O objetivo é expressar cada vetor de uma base como combinação linear dos vetores da outra base. Para isso, vamos usar as relações entre as coordenadas dos vetores nas duas bases que foram dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa expressar um vetor de uma base em termos de outra base. Basicamente, queremos escrever cada vetor de y1 = 2x1 - x2 + x3 y2 = x1 - 3x3 y3 = x2 + 2x3 como uma soma ponderada dos vetores de , e vice-versa. Para fazer isso, vamos usar as relações de coordenadas fornecidas:
Aqui, são as coordenadas de um vetor na base e são as coordenadas na base .

Passo 3

Nosso primeiro objetivo é expressar e como combinações lineares de e . Para isso, podemos pensar em cada vetor como um vetor na base com coordenadas , e respectivamente.

Passo 4

Vamos considerar y1 = 2(1) - 0 + 0 = 2 y2 = 1 - 0 = 1 y3 = 0 + 0 = 0 . Como suas coordenadas na base são , substituímos , , nas equações dadas:
Isso significa que .

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para y1 = 2(0) - 1 + 0 = -1 y2 = 0 - 0 = 0 y3 = 1 + 0 = 1 . Suas coordenadas na base são , então , , :
Portanto, .

Passo 6

Por fim, vamos para y1 = 2(0) - 0 + 1 = 1 y2 = 0 - 3(1) = -3 y3 = 0 + 2(1) = 2 . As coordenadas na base são , então , , :
Assim, .

Passo 7

Agora, vamos fazer o inverso: expressar e como combinações lineares de e . Para isso, precisamos inverter o sistema de equações dado.

Passo 8

Vamos reescrever o sistema original:
y1 = 2x1 - x2 + x3 y2 = x1 - 3x3 y3 = x2 + 2x3
Nosso objetivo é resolver esse sistema para em função de .

Passo 9

Primeiro, da segunda equação:
y2 = x1 - 3x3 implies x1 = y2 + 3x3
Agora, da terceira equação:
y3 = x2 + 2x3 implies x2 = y3 - 2x3
Substituímos y1 = 2(y2 + 3x3) - (y3 - 2x3) + x3 = 2y2 + 6x3 - y3 + 2x3 + x3 e y1 = 2y2 - y3 + 9x3 implies x3 = y1 - 2y2 + y39 na primeira equação:
Simplificando:

Passo 10

Agora que temos x1 = y2 + 3(y1 - 2y2 + y39) = y2 + y1 - 2y2 + y33 = 3y2 + y1 - 2y2 + y33 = y1 + y2 + y33 , podemos encontrar x2 = y3 - 2(y1 - 2y2 + y39) = y3 - 2y1 - 4y2 + 2y39 = 9y3 - 2y1 + 4y2 - 2y39 = -2y1 + 4y2 + 7y39 e :

Passo 11

Agora, podemos expressar cada x1 = 1 + 0 + 03 = 13, x2 = -2(1) + 4(0) + 7(0)9 = -29, x3 = 1 - 0 + 09 = 19 em termos de e .
Para , as coordenadas na base são , então , , :
Logo, .

Passo 12

Para y1 = 0, y2 = 1, y3 = 0 , com coordenadas x1 = 0 + 1 + 03 = 13, x2 = -2(0) + 4(1) + 7(0)9 = 49, x3 = 0 - 2(1) + 09 = -29 :
Calculando:
Então, .

Passo 13

Por último, para y1 = 0, y2 = 0, y3 = 1 , com coordenadas x1 = 0 + 0 + 13 = 13, x2 = -2(0) + 4(0) + 7(1)9 = 79, x3 = 0 - 0 + 19 = 19 :
Calculando:
Então, .

Resposta

&1 &e1 = 2f1 + f2 &e2 = -f1 + f3 &e3 = f1 - 3f2 + 2f3 &2 &f1 = 13e1 - 29e2 + 19e3 &f2 = 13e1 + 49e2 - 29e3 &f3 = 13e1 + 79e2 + 19e3

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