Determinar: o vetor representativo do campo de acelerações desse escoamento (acelerações material, local e convectiva)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o vetor representativo do campo de acelerações em um escoamento, incluindo as acelerações material, local e convectiva. Para isso, vamos trabalhar com os conceitos de cinemática dos fluidos, que estuda o movimento dos fluidos sem considerar as forças que os causam. Precisamos entender como a velocidade do fluido varia no tempo e no espaço para encontrar as diferentes componentes da aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o vetor velocidade do fluido, que representa a rapidez e a direção com que as partículas do fluido se movem. Vamos chamar esse vetor de v = u,i + v,j + w,k . Matematicamente, ele pode ser representado como:
Aqui, , e são as componentes da velocidade nas direções , e , respectivamente, e , , são os vetores unitários nessas direções.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a aceleração material. Essa aceleração considera a mudança da velocidade de uma partícula do fluido ao longo do tempo. É como se você estivesse seguindo uma partícula específica e observando como sua velocidade muda. Matematicamente, a aceleração material é dada pela derivada total da velocidade em relação ao tempo:
a = DvDt

Passo 4

A aceleração material pode ser decomposta em duas partes: a aceleração local e a aceleração convectiva. A aceleração local representa a variação da velocidade com o tempo em um ponto fixo no espaço. Já a aceleração convectiva está relacionada com a variação da velocidade no espaço, ou seja, como a velocidade muda de um ponto para outro no campo de escoamento.

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas acelerações. A aceleração local é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
(partial vpartial t)
A aceleração convectiva envolve a derivada espacial da velocidade e é dada por:
(v cdot nabla) v
Isso significa que estamos calculando como a velocidade muda à medida que nos movemos no espaço seguindo o fluxo do fluido.

Passo 6

Finalmente, somando as duas componentes, temos a expressão completa para a aceleração material:
a = partial vpartial t + (v cdot nabla) v
Essa equação mostra que a aceleração total de uma partícula no fluido é a soma da variação temporal da velocidade e da variação espacial da velocidade devido ao movimento do fluido.

Resposta

O vetor representativo do campo de acelerações do escoamento é dado por:
a = partial vpartial t + (v cdot nabla) v

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