Determinar: o vetor representativo do campo de acelerações desse escoamento (acelerações material, local e convectiva)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o vetor representativo do campo de acelerações em um escoamento, incluindo as acelerações material, local e convectiva. Para isso, vamos trabalhar com os conceitos de cinemática dos fluidos, que estuda o movimento dos fluidos sem considerar as forças que os causam. Precisamos entender como a velocidade do fluido varia no tempo e no espaço para encontrar as diferentes componentes da aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o vetor velocidade do fluido, que representa a rapidez e a direção com que as partículas do fluido se movem. Vamos chamar esse vetor de
. Matematicamente, ele pode ser representado como:
Aqui,
,
e
são as componentes da velocidade nas direções
,
e
, respectivamente, e
,
,
são os vetores unitários nessas direções.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a aceleração material. Essa aceleração considera a mudança da velocidade de uma partícula do fluido ao longo do tempo. É como se você estivesse seguindo uma partícula específica e observando como sua velocidade muda. Matematicamente, a aceleração material é dada pela derivada total da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
A aceleração material pode ser decomposta em duas partes: a aceleração local e a aceleração convectiva. A aceleração local representa a variação da velocidade com o tempo em um ponto fixo no espaço. Já a aceleração convectiva está relacionada com a variação da velocidade no espaço, ou seja, como a velocidade muda de um ponto para outro no campo de escoamento.
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas acelerações. A aceleração local é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
A aceleração convectiva envolve a derivada espacial da velocidade e é dada por:
Isso significa que estamos calculando como a velocidade muda à medida que nos movemos no espaço seguindo o fluxo do fluido.
Passo 6
Finalmente, somando as duas componentes, temos a expressão completa para a aceleração material:
Essa equação mostra que a aceleração total de uma partícula no fluido é a soma da variação temporal da velocidade e da variação espacial da velocidade devido ao movimento do fluido.
Resposta
O vetor representativo do campo de acelerações do escoamento é dado por: