Determinar: o vetor representativo do campo de acelerações desse escoamento (acelerações material, local e convectiva)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o vetor representativo do campo de acelerações em um escoamento, incluindo as acelerações material, local e convectiva. Para isso, vamos trabalhar com os conceitos de cinemática dos fluidos, que estuda o movimento dos fluidos sem considerar as forças que os causam. Precisamos entender como a velocidade do fluido varia no tempo e no espaço para encontrar as diferentes componentes da aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o vetor velocidade do fluido, que representa a rapidez e a direção com que as partículas do fluido se movem. Vamos chamar esse vetor de
. Matematicamente, ele pode ser representado como:
Aqui,
,
e
são as componentes da velocidade nas direções
,
e
, respectivamente, e
,
,
são os vetores unitários nessas direções.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a aceleração material. Essa aceleração considera a mudança da velocidade de uma partícula do fluido ao longo do tempo. É como se você estivesse seguindo uma partícula específica e observando como sua velocidade muda. Matematicamente, a aceleração material é dada pela derivada total da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
A aceleração material pode ser decomposta em duas partes: a aceleração local e a aceleração convectiva. A aceleração local representa a variação da velocidade com o tempo em um ponto fixo no espaço. Já a aceleração convectiva está relacionada com a variação da velocidade no espaço, ou seja, como a velocidade muda de um ponto para outro no campo de escoamento.
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas acelerações. A aceleração local é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
A aceleração convectiva envolve a derivada espacial da velocidade e é dada por:
Isso significa que estamos calculando como a velocidade muda à medida que nos movemos no espaço seguindo o fluxo do fluido.
Passo 6
Finalmente, somando as duas componentes, temos a expressão completa para a aceleração material:
Essa equação mostra que a aceleração total de uma partícula no fluido é a soma da variação temporal da velocidade e da variação espacial da velocidade devido ao movimento do fluido.
Resposta
O vetor representativo do campo de acelerações do escoamento é dado por:
Exercícios relacionados
Qual deve ser a tensão de cisalhamento, sobre a face de contato de uma placa 20,0 m2, que se deslocanuma altura
y sobre um rio com velocidade nas seguintes condições:
Dados:
A velocidade do rio: 6,0 m/s
A viscosidade da água: 0,001 Pa.s
A profundidade do rio:
Velocidade da placa em relação ao rio: na direção da correnteza.
Determinar a tensão de cisalhamento sobre a placa e a força atuante nessa condição. Se essa força for a força de um motor, qual deve ser sua potência ( força x velocidade)?
Dados:
A velocidade do rio: 6,0 m/s
A viscosidade da água: 0,001 Pa.s
A profundidade do rio:
Velocidade da placa em relação ao rio:
Determinar a tensão de cisalhamento sobre a placa e a força atuante nessa condição. Se essa força for a força de um motor, qual deve ser sua potência ( força x velocidade)?
Um peixe tenta ficar em repouso no meio de um rio com uma profundidade de
uma velocidade da correnteza de
. A velocidade da água no rio varia com a profundidade
de acordo com a seguinte fórmula:
Sabendo que o peixe está a uma profundidade de
(medida a partir do fundo do rio) e que a viscosidade dinâmica da água é
, determine a tensão de cisalhamento que o peixe deve resistir nessa posição para permanecer em repouso.
Dados:
Resposta: 0,024 Pa
Uma tubulação de água com diâmetro de 80 cm conduz água a uma vazão uniforme. A velocidade máxima da água na tubulação ocorre no centro e é
e a viscosidade dinâmica da água é
, e o escoamento é laminar, seguindo um perfil parabólico dada pela expressão
Você deve determinar:
- A tensão de cisalhamento no centro da tubulação.
- A tensão de cisalhamento nas paredes internas da tubulação.
- A força de arrasto nas paredes da tubulação, a cada metro de comprimento de tubo, ocasionada pela tensão de cisalhamento.
Dois fluidos, 1 e 2, miscíveis entre si e de densidades iguais a
e
, são misturados em iguais proporções de massa. Qual alternativa apresenta a densidade resultante da mistura desses fluidos?