Qual deve ser a tensão de cisalhamento, sobre a face de contato de uma placa 20,0 m2, que se deslocanuma altura h=1 / 3 y sobre um rio com velocidade nas seguintes condições:
Dados:
A velocidade do rio: 6,0 m/s
A viscosidade da água: 0,001 Pa.s
A profundidade do rio: 4,8 m
Velocidade da placa em relação ao rio: 8,0 m / s na direção da correnteza.
Determinar a tensão de cisalhamento sobre a placa e a força atuante nessa condição. Se essa força for a força de um motor, qual deve ser sua potência ( força x velocidade)?

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Estamos lidando com um exercício de mecânica dos fluidos, especificamente relacionado à tensão de cisalhamento. O problema envolve calcular a tensão de cisalhamento sobre uma placa que se move em relação a um rio, determinar a força resultante e, se essa força for fornecida por um motor, calcular a potência necessária.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Tensão de cisalhamento ( tau): Força por unidade de área exercida por um fluido em movimento.
  • Viscosidade ( mu): Medida da resistência interna de um fluido ao escoamento.
  • Gradiente de velocidade ( du/dy): Variação da velocidade do fluido em relação à direção perpendicular ao fluxo.
  • Fórmula da tensão de cisalhamento: tau = mu dudy
  • Força ( F): Produto da tensão de cisalhamento pela área ( F = tau times A)
  • Potência ( P): Produto da força pela velocidade ( P = F times v)

Passo 2

Determinar o Gradiente de Velocidade ( du/dy)
O gradiente de velocidade representa como a velocidade do fluido muda com a distância perpendicular ao fluxo. Aqui, temos duas velocidades:
  • Velocidade do rio ( u): 6,0 m/s
  • Velocidade da placa em relação ao rio ( v): 8,0 m/s
A profundidade do rio ( y) é de 4,8 m.
Assumindo um perfil de velocidade linear, o gradiente de velocidade pode ser aproximado por:
dudy = uy
Substituindo os valores:
dudy = 6,0, m/s4,8, m = 1,25, s^-1

Passo 3

Calcular a Tensão de Cisalhamento ( tau)
Usando a fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu dudy
Onde:
  • mu = 0,001, Pas
  • dudy = 1,25, s^-1
Substituindo os valores:
tau = 0,001, Pas times 1,25, s^-1 = 0,00125, Pa

Passo 4

Calcular a Força Atuante ( F)
A força é o produto da tensão de cisalhamento pela área de contato:
F = tau times A
Onde:
  • tau = 0,00125, Pa
  • A = 20,0, m^2
Substituindo os valores:
F = 0,00125, Pa times 20,0, m^2 = 0,025, N

Passo 5

Calcular a Potência Necessária do Motor ( P)
Se essa força for fornecida por um motor, a potência necessária é o produto da força pela velocidade:
P = F times v
Onde:
  • F = 0,025, N
  • v = 8,0, m/s
Substituindo os valores:
P = 0,025, N times 8,0, m/s = 0,2, W

Resposta

A tensão de cisalhamento sobre a placa é de 0,00125 Pa, a força atuante é de 0,025 N e a potência necessária do motor é de 0,2 W.

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