Uma tubulação de água com diâmetro de 80 cm conduz água a uma vazão uniforme. A velocidade máxima da água na tubulação ocorre no centro e é e a viscosidade dinâmica da água é , e o escoamento é laminar, seguindo um perfil parabólico dada pela expressão
Você deve determinar:
A tensão de cisalhamento no centro da tubulação.
A tensão de cisalhamento nas paredes internas da tubulação.
A força de arrasto nas paredes da tubulação, a cada metro de comprimento de tubo, ocasionada pela tensão de cisalhamento.
Passo 1
Ei! Vamos resolver esse exercício sobre o fluxo de água em uma tubulação. A questão envolve conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente o escoamento laminar e a tensão de cisalhamento. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade da água varia no tubo, calcular a tensão de cisalhamento em diferentes pontos e, finalmente, determinar a força de arrasto nas paredes da tubulação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a tensão de cisalhamento no centro da tubulação. A tensão de cisalhamento () em um fluido em escoamento laminar pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
é a viscosidade dinâmica da água.
é o gradiente de velocidade na direção perpendicular ao fluxo.
No centro da tubulação (), a velocidade é máxima (). Vamos usar a equação do perfil de velocidade parabólico dada:
Aqui, é o raio e é a posição ao longo do raio. Para encontrar no centro (), derivamos em relação a :
No centro, , então:
Portanto, a tensão de cisalhamento no centro é:
Passo 3
Agora vamos calcular a tensão de cisalhamento nas paredes internas da tubulação. Nas paredes, dvdyg|y=r = -2 vh^2 r = -2 vr^2 r = -2 vr , onde |dvdy| = 2 vr . Usando a derivada que encontramos:
tauparedes = mu times 2 vr
O módulo da derivada é:
Então, a tensão de cisalhamento nas paredes é:
Passo 4
Por fim, vamos determinar a força de arrasto nas paredes da tubulação por metro de comprimento do tubo. A força de arrasto ( F = tau times A ) é relacionada à tensão de cisalhamento e à área de contato com a parede. A fórmula é:
A = 2pi r times 1 = 2pi r m^2/m
Onde F = mu times 2 vr times 2pi r = 4pi mu v é a área da superfície da parede por metro de comprimento. A área de um cilindro por metro de comprimento é:
Então, substituindo :
Resposta
A tensão de cisalhamento no centro da tubulação é .
A tensão de cisalhamento nas paredes internas da tubulação é .
A força de arrasto nas paredes da tubulação, por metro de comprimento, é .