Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores
e
, sendo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor que seja ortogonal, ou seja, perpendicular, tanto ao vetor
quanto ao vetor
. Estamos lidando com álgebra vetorial aqui. Para resolver, vamos precisar somar os vetores, usar o produto escalar e, se precisar, o produto vetorial para encontrar o vetor desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os vetores
e
.
Dado que
e
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor
que seja ortogonal a ambos os vetores que calculamos. Isso significa que o produto escalar de
com cada um desses vetores deve ser zero.
Primeiro, com
:
Então:
Podemos simplificar para:
Segundo, com
:
Então:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar possíveis valores de
,
e
. Podemos expressar
em função de
a partir da equação (1):
Agora, substituímos
na equação (2):
Podemos simplificar dividindo por -3:
Passo 5
Até aqui, expressamos
e
em termos de
. Podemos escolher um valor para
para encontrar valores específicos para
e
. Para facilitar, vamos escolher
(pode ser qualquer número real).
Então:
Portanto, um vetor que satisfaz as condições é
.
Resposta
Um vetor simultaneamente ortogonal a
e
é
.