Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u+2 v e v-u, sendo u=(-3,2,0) e v=(0,-1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor que seja ortogonal, ou seja, perpendicular, tanto ao vetor u + 2v quanto ao vetor v - u. Estamos lidando com álgebra vetorial aqui. Para resolver, vamos precisar somar os vetores, usar o produto escalar e, se precisar, o produto vetorial para encontrar o vetor desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores u + 2v e v - u.
Dado que u = (-3, 2, 0) e v = (0, -1, -2):
u + 2v = (-3, 2, 0) + 2*(0, -1, -2) = (-3, 2 + (-2), 0 + (-4)) = (-3, 0, -4)
v - u = (0, -1, -2) - (-3, 2, 0) = (0 + 3, -1 - 2, -2 - 0) = (3, -3, -2)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor w = (x, y, z) que seja ortogonal a ambos os vetores que calculamos. Isso significa que o produto escalar de w com cada um desses vetores deve ser zero.
Primeiro, com u + 2v = (-3, 0, -4):
w cdot (-3, 0, -4) = -3x + 0y -4z = 0
Então: -3x - 4z = 0
Podemos simplificar para: 3x + 4z = 0 \quad (1)
Segundo, com v - u = (3, -3, -2):
w cdot (3, -3, -2) = 3x -3y -2z = 0
Então: 3x -3y -2z = 0 \quad (2)

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. 3x + 4z = 0
  2. 3x - 3y - 2z = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar possíveis valores de x, y e z. Podemos expressar x em função de z a partir da equação (1):
3x + 4z = 0
Rightarrow x = -43z
Agora, substituímos x na equação (2):
3*(-43z) -3y -2z = 0
-4z -3y -2z = 0
-6z -3y = 0
Podemos simplificar dividindo por -3:
2z + y = 0
Rightarrow y = -2z

Passo 5

Até aqui, expressamos x e y em termos de z. Podemos escolher um valor para z para encontrar valores específicos para x e y. Para facilitar, vamos escolher z = 3 (pode ser qualquer número real).
Então:
x = -43 * 3 = -4
y = -2 * 3 = -6
z = 3
Portanto, um vetor que satisfaz as condições é w = (-4, -6, 3).

Resposta

Um vetor simultaneamente ortogonal a u + 2v e v - u é w = (-4, -6, 3).

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