Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores e , sendo e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor que seja ortogonal, ou seja, perpendicular, tanto ao vetor quanto ao vetor . Estamos lidando com álgebra vetorial aqui. Para resolver, vamos precisar somar os vetores, usar o produto escalar e, se precisar, o produto vetorial para encontrar o vetor desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores e .
Dado que e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores que calculamos. Isso significa que o produto escalar de com cada um desses vetores deve ser zero.
Primeiro, com :

Então:
Podemos simplificar para: \quad (1)
Segundo, com :

Então: \quad (2)

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar possíveis valores de , e . Podemos expressar em função de a partir da equação (1):

Agora, substituímos na equação (2):



Podemos simplificar dividindo por -3:

Passo 5

Até aqui, expressamos e em termos de . Podemos escolher um valor para para encontrar valores específicos para e . Para facilitar, vamos escolher (pode ser qualquer número real).
Então:


Portanto, um vetor que satisfaz as condições é .

Resposta

Um vetor simultaneamente ortogonal a e é .

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