Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores e , sendo e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um vetor que seja ortogonal, ou seja, perpendicular, tanto ao vetor quanto ao vetor . Estamos lidando com álgebra vetorial aqui. Para resolver, vamos precisar somar os vetores, usar o produto escalar e, se precisar, o produto vetorial para encontrar o vetor desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os vetores e .
Dado que e :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores que calculamos. Isso significa que o produto escalar de com cada um desses vetores deve ser zero.
Primeiro, com :
Então:
Podemos simplificar para: \quad (1)
Segundo, com :
Então: \quad (2)
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar possíveis valores de , e . Podemos expressar em função de a partir da equação (1):
Agora, substituímos na equação (2):
Podemos simplificar dividindo por -3:
Passo 5
Até aqui, expressamos e em termos de . Podemos escolher um valor para para encontrar valores específicos para e . Para facilitar, vamos escolher (pode ser qualquer número real).