Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do Gauss Seidel, com o ou máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos pede para encontrar o vetor solução com uma precisão menor que ou, se não der, até 4 iterações. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre sistemas lineares e o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o sistema está preparado para o método de Gauss-Seidel funcionar bem. Isso envolve checar o critério de convergência, que geralmente requer que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. Se não for, podemos rearranjar as equações para tentar deixar cada equação com a variável principal tendo um coeficiente maior que a soma dos outros. Olhando as equações:
Vamos verificar se podemos rearranjar para diagonalmente dominante.
Passo 3
Vamos repetir as equações para facilitar:
Observando, na terceira equação, o coeficiente de é 10, que é maior que a soma dos outros coeficientes (). Nas outras equações, precisamos verificar. Parece que já estamos com uma forma que atende ao critério de convergência, então podemos seguir sem rearranjar.
Passo 4
Agora, vamos organizar as equações para expressar cada variável em função das outras. Isso facilita a aplicação do método iterativo.
Da primeira equação:
x1 = 18 + 3x2 - 7x33
Da segunda equação:
x2 = 10 - x1 + x36
Da terceira equação:
x3 = 27 - 10x1 + 2x27
Passo 5
Vamos escolher valores iniciais para começar as iterações. Normalmente, podemos começar com zeros:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0
Agora, aplicamos as fórmulas para encontrar os próximos valores: