Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do Gauss Seidel, com o epsilon<10^-2 ou máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).
rl 3 x1-3 x2+7 x3 & =18 x1+6 x2-x3 & =10 10 x1-2 x2+7 x3 & =27

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos pede para encontrar o vetor solução com uma precisão menor que ou, se não der, até 4 iterações. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre sistemas lineares e o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o sistema está preparado para o método de Gauss-Seidel funcionar bem. Isso envolve checar o critério de convergência, que geralmente requer que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante. Se não for, podemos rearranjar as equações para tentar deixar cada equação com a variável principal tendo um coeficiente maior que a soma dos outros. Olhando as equações:
3x1 - 3x2 + 7x3 = 18 x1 + 6x2 - x3 = 10 10x1 - 2x2 + 7x3 = 27
Vamos verificar se podemos rearranjar para diagonalmente dominante.

Passo 3

Vamos repetir as equações para facilitar:
Observando, na terceira equação, o coeficiente de é 10, que é maior que a soma dos outros coeficientes ( ). Nas outras equações, precisamos verificar. Parece que já estamos com uma forma que atende ao critério de convergência, então podemos seguir sem rearranjar.

Passo 4

Agora, vamos organizar as equações para expressar cada variável em função das outras. Isso facilita a aplicação do método iterativo.
  1. Da primeira equação:
x1 = 18 + 3x2 - 7x33
  1. Da segunda equação:
x2 = 10 - x1 + x36
  1. Da terceira equação:
x3 = 27 - 10x1 + 2x27

Passo 5

Vamos escolher valores iniciais para começar as iterações. Normalmente, podemos começar com zeros:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0
Agora, aplicamos as fórmulas para encontrar os próximos valores:
Iteração 1:
x1^(1) = 18 + 3(0) - 7(0)3 = 6
x2^(1) = 10 - 6 + 06 = 46 approx 0.6667
x3^(1) = 27 - 10(6) + 2(0.6667)7 = 27 - 60 + 1.33347 = -31.66667 approx -4.5238

Passo 6

Iteração 2:
x1^(2) = 18 + 3(0.6667) - 7(-4.5238)3 = 18 + 2 + 31.66663 = 51.66663 approx 17.2222
x2^(2) = 10 - 17.2222 + (-4.5238)6 = -11.2222 - 4.52386 = -15.74606 approx -2.6243
x3^(2) = 27 - 10(17.2222) + 2(-2.6243)7 = 27 - 172.222 + (-5.2486)7 = -150.47067 approx -21.4958

Passo 7

Iteração 3:
x1^(3) = 18 + 3(-2.6243) - 7(-21.4958)3 = 18 - 7.8729 + 150.47063 = 160.59773 approx 53.5326
x2^(3) = 10 - 53.5326 + (-21.4958)6 = -64.02846 approx -10.6714
x3^(3) = 27 - 10(53.5326) + 2(-10.6714)7 = 27 - 535.326 + (-21.3428)7 = -529.66887 approx -75.6670

Passo 8

Iteração 4:
x1^(4) = 18 + 3(-10.6714) - 7(-75.6670)3 = 18 - 32.0142 + 529.6693 = 515.65483 approx 171.8849
x2^(4) = 10 - 171.8849 + (-75.6670)6 = -237.55196 approx -39.5920
x3^(4) = 27 - 10(171.8849) + 2(-39.5920)7 = 27 - 1718.849 + (-79.184)7 = -1771.0337 approx -253.0047
Como já fizemos 4 iterações e ainda não alcançamos a precisão desejada, encerramos aqui.

Resposta

Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel é:
x1 approx 171.88 x2 approx -39.59 x3 approx -253.00

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