Resolver o sistema de equações utilizando a técnica eliminação de Gauss, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
l 2 x1^(k)+2 x2^(k)+x3^(k)+x4^(k)=7 x1^(k)-x2^(k)+2 x3^(k)-x4^(k)=1 ; sx^(0)=(x1^(0)=0,5 x2^(0)=2,0 x3^(0)=0,9 x4^(0)=1,2)^t 3 x1^(k)+2 x2^(k)-3 x3^(k)-2 x4^(k)=4 4 x1^(k)+3 x2^(k)+2 x3^(k)+x4^(k)=12
Mostrar a metodologia de eliminação de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações utilizando a técnica de eliminação de Gauss. O que você precisa saber aqui é que a eliminação de Gauss é um método para resolver sistemas lineares transformando a matriz das equações em uma forma triangular, facilitando a resolução pelas substituições retroativas. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações nas linhas para simplificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações em uma matriz aumentada. Cada linha da matriz representará uma equação e cada coluna, um coeficiente das incógnitas, com a última coluna sendo os termos constantes. Assim, temos:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12

Passo 3

Agora, o objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal (a diagonal que vai do canto superior esquerdo ao inferior direito) sejam zeros. Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda, terceira e quarta linhas.
Operação 1: Vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como está (pivô) e eliminar o elemento abaixo dele na segunda linha.
  • Multiplicamos a primeira linha por 1 e subtraímos da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 12 times Linha1
Isso resulta em:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12

Passo 4

Operação 2: Vamos eliminar o primeiro elemento da terceira linha.
  • Multiplicamos a primeira linha por Linha3 = Linha3 - 32 times Linha1 e subtraímos da terceira linha:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -1 & -3.5 & -3.5 & | & -6.5 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12
Resultado:

Passo 5

Operação 3: Vamos eliminar o primeiro elemento da quarta linha.
  • Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da quarta linha:
Linha4 = Linha4 - 2 times Linha1
Resultado:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -1 & -3.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna e usar o segundo pivô (elemento não nulo na segunda linha). Queremos zerar os elementos abaixo dele.
Operação 4: Vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na terceira linha.
  • Multiplicamos a segunda linha por Linha3 = Linha3 - (-12) times Linha2 para facilitar e subtraímos da terceira linha:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & 0 & -3 & -3 & | & -5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2
Resultado:

Passo 7

Operação 5: Vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na quarta linha.
  • Multiplicamos a segunda linha por Linha4 = Linha4 - (-12) times Linha2 e subtraímos da quarta linha:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & 0 & -3 & -3 & | & -5 0 & 0 & 0.75 & -1.75 & | & -1.25
Resultado:

Passo 8

Agora que a matriz está em forma triangular, podemos resolver as equações de baixo para cima (substituição retroativa).
  • Da quarta linha:
0.75x3 - 1.75x4 = -1.25
Podemos isolar 0.75x3 = 1.75x4 -1.25 x3 = 1.750.75x4 - 1.250.75 x3 = 73x4 - 53 :
-3x3 -3x4 = -5 -3(73x4 - 53) -3x4 = -5 -7x4 +5 -3x4 = -5 -10x4 +5 = -5 -10x4 = -10 x4 = 1
  • Da terceira linha:
x3 = 73(1) - 53 = 23
  • Substituindo -2x2 +1.5x3 -1.5x4 = -2.5 -2x2 +1.5(23) -1.5(1) = -2.5 -2x2 +1 -1.5 = -2.5 -2x2 -0.5 = -2.5 -2x2 = -2 x2 = 1 na equação de 2x1 +2x2 +x3 +x4 =7 2x1 +2(1) +23 +1 =7 2x1 +2 + 23 +1 =7 2x1 +3 + 23 =7 2x1 =7 -3 -23 2x1 =4 -23 =103 x1 =106 =53 :
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:

Resposta

A solução do sistema de equações é:
l x1 = dfrac53 approx 1.6667 x2 = 1.0000 x3 = dfrac23 approx 0.6667 x4 = 1.0000

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