Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do Gauss Seidel, com o epsilon<10^-2 ou máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).
x1+2 x2+5 x3 & =20 x1+3 x2+x3 & =10 4 x1+x2+2 x3 & =12 comece com times(0) & =(1.01,2.01,3.01)^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações. Para isso, vamos precisar rearranjar as equações se necessário, escolher um chute inicial e continuar iterando até que a diferença entre as iterações seja menor que epsilon = 10^-2 ou até completar 4 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o sistema está pronto para o método de Gauss-Seidel. Para que o método funcione bem, normalmente precisamos que a matriz das equações seja diagonalmente dominante. Vamos checar isso:
Para a primeira equação: |1| > |2| + |5|? Não, 1 < 7.
Segunda equação: |3| > |1| + |1|? 3 > 2? Sim.
Terceira equação: |4| > |1| + |2|? 4 > 3? Sim.
A primeira equação não é diagonalmente dominante, então vamos rearranjar as equações para tentar obter uma matriz que seja. Vamos trocar a primeira e a segunda equação:
x1 + 3x2 + x3 = 10 x1 + 2x2 + 5x3 = 20 4x1 + x2 + 2x3 = 12
Agora, vamos verificar novamente:
Primeira equação: |1| > |3| + |1|? 1 < 4 → ainda não.
Vamos tentar a terceira equação como primeira:
4x1 + x2 + 2x3 = 12 x1 + 3x2 + x3 = 10 x1 + 2x2 + 5x3 = 20
Verificamos:
Primeira equação: |4| > |1| + |2|? 4 > 3 → Sim.
Segunda equação: |3| > |1| + |1|? 3 > 2 → Sim.
Terceira equação: |5| > |1| + |2|? 5 > 3 → Sim.
Perfeito, agora nosso sistema está com matriz diagonalmente dominante.

Passo 3

Agora, vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
  1. Da primeira equação:
x1 = 12 - x2 - 2x34
  1. Da segunda equação:
x2 = 10 - x1 - x33
  1. Da terceira equação:
x3 = 20 - x1 - 2x25
Essas fórmulas nos permitem calcular cada variável sequencialmente usando os valores das iterações anteriores.

Passo 4

Vamos iniciar as iterações usando o chute inicial x^(0) = (1.01, 2.01, 3.01)^T.
Iteração 1:
  1. Calculando x1^(1):
x1^(1) = 12 - 2.01 - 2 times 3.014 = 12 - 2.01 - 6.024 = 3.974 = 0.9925
  1. Calculando x2^(1):
x2^(1) = 10 - 0.9925 - 3.013 = 10 - 4.00253 = 5.99753 approx 1.9992
  1. Calculando x3^(1):
x3^(1) = 20 - 0.9925 - 2 times 1.99925 = 20 - 0.9925 - 3.99845 = 15.00915 approx 3.0018
Agora, o vetor após a primeira iteração é x^(1) = (0.9925, 1.9992, 3.0018).

Passo 5

Vamos verificar a diferença entre x^(1) e x^(0):
|x^(1) - x^(0)| = |(0.9925 - 1.01, 1.9992 - 2.01, 3.0018 - 3.01)| = (0.0175, 0.0108, 0.0082)
A maior diferença é 0.0175, que ainda é maior que epsilon = 0.01. Então, precisamos fazer mais uma iteração.
Iteração 2:
  1. Calculando x1^(2):
x1^(2) = 12 - 1.9992 - 2 times 3.00184 = 12 - 1.9992 - 6.00364 = 4.99724 = 1.2493
  1. Calculando x2^(2):
x2^(2) = 10 - 1.2493 - 3.00183 = 10 - 4.25113 = 5.74893 approx 1.9163
  1. Calculando x3^(2):
x3^(2) = 20 - 1.2493 - 2 times 1.91635 = 20 - 1.2493 - 3.83265 = 14.91815 approx 2.9836
Vetor após a segunda iteração: x^(2) = (1.2493, 1.9163, 2.9836).

Passo 6

Calculando a diferença entre x^(2) e x^(1):
|x^(2) - x^(1)| = |(1.2493 - 0.9925, 1.9163 - 1.9992, 2.9836 - 3.0018)| = (0.2568, 0.0829, 0.0182)
A maior diferença agora é 0.2568, ainda maior que 0.01. Vamos para a terceira iteração.
Iteração 3:
  1. Calculando x1^(3):
x1^(3) = 12 - 1.9163 - 2 times 2.98364 = 12 - 1.9163 - 5.96724 = 4.11654 = 1.0291
  1. Calculando x2^(3):
x2^(3) = 10 - 1.0291 - 2.98363 = 10 - 4.01273 = 5.98733 approx 1.9958
  1. Calculando x3^(3):
x3^(3) = 20 - 1.0291 - 2 times 1.99585 = 20 - 1.0291 - 3.99165 = 15.97935 approx 3.1959
Vetor após a terceira iteração: x^(3) = (1.0291, 1.9958, 3.1959).

Passo 7

Vamos verificar a diferença entre x^(3) e x^(2):
|x^(3) - x^(2)| = |(1.0291 - 1.2493, 1.9958 - 1.9163, 3.1959 - 2.9836)| = (0.2202, 0.0795, 0.2123)
A maior diferença é 0.2202, ainda maior que 0.01. Vamos para a quarta e última iteração permitida.
Iteração 4:
  1. Calculando x1^(4):
x1^(4) = 12 - 1.9958 - 2 times 3.19594 = 12 - 1.9958 - 6.39184 = 3.61244 = 0.9031
  1. Calculando x2^(4):
x2^(4) = 10 - 0.9031 - 3.19593 = 10 - 4.0993 = 5.9013 approx 1.9670
  1. Calculando x3^(4):
x3^(4) = 20 - 0.9031 - 2 times 1.96705 = 20 - 0.9031 - 3.9345 = 15.16295 approx 3.0326
Vetor após a quarta iteração: x^(4) = (0.9031, 1.9670, 3.0326).

Resposta

Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema é:
x approx 0.9031 1.9670 3.0326

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