Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do Gauss Seidel, com o ou máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações. Para isso, vamos precisar rearranjar as equações se necessário, escolher um chute inicial e continuar iterando até que a diferença entre as iterações seja menor que ou até completar 4 iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o sistema está pronto para o método de Gauss-Seidel. Para que o método funcione bem, normalmente precisamos que a matriz das equações seja diagonalmente dominante. Vamos checar isso:
Para a primeira equação: ? Não, .
Segunda equação: ? ? Sim.
Terceira equação: ? ? Sim.
A primeira equação não é diagonalmente dominante, então vamos rearranjar as equações para tentar obter uma matriz que seja. Vamos trocar a primeira e a segunda equação:
Agora, vamos verificar novamente:
Primeira equação: ? → ainda não.
Vamos tentar a terceira equação como primeira:
Verificamos:
Primeira equação: ? → Sim.
Segunda equação: ? → Sim.
Terceira equação: ? → Sim.
Perfeito, agora nosso sistema está com matriz diagonalmente dominante.
Passo 3
Agora, vamos reescrever as equações para expressar cada variável em termos das outras:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Essas fórmulas nos permitem calcular cada variável sequencialmente usando os valores das iterações anteriores.
Passo 4
Vamos iniciar as iterações usando o chute inicial .
Iteração 1:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Agora, o vetor após a primeira iteração é .
Passo 5
Vamos verificar a diferença entre e :
A maior diferença é , que ainda é maior que . Então, precisamos fazer mais uma iteração.
Iteração 2:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Vetor após a segunda iteração: .
Passo 6
Calculando a diferença entre e :
A maior diferença agora é , ainda maior que . Vamos para a terceira iteração.
Iteração 3:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Vetor após a terceira iteração: .
Passo 7
Vamos verificar a diferença entre e :
A maior diferença é , ainda maior que . Vamos para a quarta e última iteração permitida.
Iteração 4:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Vetor após a quarta iteração: .
Resposta
Após 4 iterações, a solução aproximada do sistema é: