Resolver o sistema de equações utilizando a técnica eliminação de Gauss, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
Fazer 3 soluções sx^(1), sx^(2) e sx^(3).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a técnica de Eliminação de Gauss. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema em uma forma onde seja mais fácil encontrar as soluções para as incógnitas l 2 x1^(k) + 2 x2^(k) + x3^(k) + x4^(k) = 7 x1^(k) - x2^(k) + 2 x3^(k) - x4^(k) = 1 3 x1^(k) + 2 x2^(k) - 3 x3^(k) - 2 x4^(k) = 4 4 x1^(k) + 3 x2^(k) + 2 x3^(k) + x4^(k) = 12 , sx^(0) = ( x1^(0) = 0,5, x2^(0) = 2,0, x3^(0) = 0,9, x4^(0) = 1,2 )^t , e . Para isso, vamos precisar manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez até que possamos resolver facilmente.
Aqui está o sistema que vamos resolver:
E também temos uma solução inicial:
Vamos fazer 3 iterações para encontrar melhores aproximações das soluções: , e .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que é uma forma prática para aplicar a Eliminação de Gauss. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os resultados das equações. Ficará assim:
O objetivo agora é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero. Isso facilita a solução das equações por substituição.
Passo 3
Vamos começar eliminando o Linha 2 = Linha 2 - 0.5 times Linha 1 das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha para zerar os coeficientes de 1 - 0.5 times 2 = 0, -1 - 0.5 times 2 = -2, 2 - 0.5 times 1 = 1.5, -1 - 0.5 times 1 = -1.5, 1 - 0.5 times 7 = -2.5 nas outras linhas.
Linha 2: Já tem Linha 3 = Linha 3 - 1.5 times Linha 1 com coeficiente 1, vamos subtrair 0.5 vezes a Linha 1 para eliminar 3 - 1.5 times 2 = 0, 2 - 1.5 times 2 = -1, -3 - 1.5 times 1 = -4.5, -2 - 1.5 times 1 = -3.5, 4 - 1.5 times 7 = -6.5 .
Linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 1
4 - 2 times 2 = 0, 3 - 2 times 2 = -1, 2 - 2 times 1 = 0, 1 - 2 times 1 = -1, 12 - 2 times 7 = -2
Continuando a eliminação, vamos agora eliminar o Linha 3 = Linha 3 + 0.5 times Linha 2 das equações abaixo da segunda. Para isso, usamos a segunda linha para zerar os coeficientes de 0 + 0.5 times 0 = 0, -1 + 0.5 times (-2) = -2, -4.5 + 0.5 times 1.5 = -3.75, -3.5 + 0.5 times (-1.5) = -4.25, -6.5 + 0.5 times (-2.5) = -7.75 nas linhas 3 e 4.
Linha 3: Adicionamos 0.5 vezes a Linha 2.
Linha 4 = Linha 4 + 0.5 times Linha 2
0 + 0.5 times 0 = 0, -1 + 0.5 times (-2) = -2, 0 + 0.5 times 1.5 = 0.75, -1 + 0.5 times (-1.5) = -1.75, -2 + 0.5 times (-2.5) = -3.25
Como temos uma variável x1 = 1 + 0.9048 t livre, podemos atribuir um valor a ela para encontrar soluções específicas. Vamos considerar x2 = 2 - 1.1429 t , onde x3 = 1 - 0.5238 t é qualquer número real.
Então, as soluções ficam:
x4 = t
Passo 10
Porém, o exercício pede para encontrar 3 soluções específicas: x1 = 1 + 0.9048 times 0 = 1 , x2 = 2 - 1.1429 times 0 = 2 e x3 = 1 - 0.5238 times 0 = 1 , utilizando a solução inicial x4 = 0 . Como o sistema possui infinitas soluções, podemos escolher valores específicos para x1 = 1 + 0.9048 times 1 = 1.9048 e obter essas soluções.
Vamos escolher:
Para x2 = 2 - 1.1429 times 1 = 0.8571 : x3 = 1 - 0.5238 times 1 = 0.4762
Para x4 = 1 : x1 = 1 + 0.9048 times (-1) = 0.0952
Para x2 = 2 - 1.1429 times (-1) = 3.1429 : x3 = 1 - 0.5238 times (-1) = 1.5238