Resolver o sistema de equações utilizando a técnica eliminação de Gauss, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
Fazer 3 soluções .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a técnica de Eliminação de Gauss. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema em uma forma onde seja mais fácil encontrar as soluções para as incógnitas , , e . Para isso, vamos precisar manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez até que possamos resolver facilmente.
Aqui está o sistema que vamos resolver:
E também temos uma solução inicial:
Vamos fazer 3 iterações para encontrar melhores aproximações das soluções: , e .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que é uma forma prática para aplicar a Eliminação de Gauss. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os resultados das equações. Ficará assim:
O objetivo agora é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero. Isso facilita a solução das equações por substituição.
Passo 3
Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha para zerar os coeficientes de nas outras linhas.
Linha 2: Já tem com coeficiente 1, vamos subtrair 0.5 vezes a Linha 1 para eliminar .
Linha 3: Subtraímos 1.5 vezes a Linha 1.
Linha 4: Subtraímos 2 vezes a Linha 1.
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Continuando a eliminação, vamos agora eliminar o das equações abaixo da segunda. Para isso, usamos a segunda linha para zerar os coeficientes de nas linhas 3 e 4.
Linha 3: Adicionamos 0.5 vezes a Linha 2.
Linha 4: Adicionamos 0.5 vezes a Linha 2.
A matriz agora fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar as linhas 3 e 4 dividindo por para facilitar os cálculos:
Linha 2: Dividimos por
Linha 3: Dividimos por
Linha 4: Dividimos por
Agora, a matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o das linhas 3 e 4 usando a segunda linha.
Linha 3: Subtraímos a Linha 2 da Linha 3.
Linha 4: Subtraímos a Linha 2 da Linha 4.
A matriz agora fica:
Passo 7
Agora, vamos focar na terceira linha para eliminar da quarta linha.
Primeiro, simplificamos a terceira linha dividindo por :
Agora, a matriz fica:
Agora, eliminamos da Linha 4 usando a Linha 3:
A matriz agora fica:
Isso indica que o sistema possui uma solução única.
Passo 8
Agora que a matriz está na forma triangular superior, vamos resolver as equações de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
Da segunda linha:
Substituindo :
Da primeira linha:
Substituindo e :
Passo 9
Como temos uma variável livre, podemos atribuir um valor a ela para encontrar soluções específicas. Vamos considerar , onde é qualquer número real.
Então, as soluções ficam:
Passo 10
Porém, o exercício pede para encontrar 3 soluções específicas: , e , utilizando a solução inicial . Como o sistema possui infinitas soluções, podemos escolher valores específicos para e obter essas soluções.