Resolver o sistema de equações utilizando a técnica eliminação de Gauss, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
l 2 x1^(k)+2 x2^(k)+x3^(k)+x4^(k)=7 x1^(k)-x2^(k)+2 x3^(k)-x4^(k)=1 ; sx^(0)=(x1^(0)=0,5 x2^(0)=2,0 x3^(0)=0,9 x4^(0)=1,2)^t 3 x1^(k)+2 x2^(k)-3 x3^(k)-2 x4^(k)=4 4 x1^(k)+3 x2^(k)+2 x3^(k)+x4^(k)=12
Fazer 3 soluções sx^(1), sx^(2) e sx^(3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a técnica de Eliminação de Gauss. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema em uma forma onde seja mais fácil encontrar as soluções para as incógnitas l 2 x1^(k) + 2 x2^(k) + x3^(k) + x4^(k) = 7 x1^(k) - x2^(k) + 2 x3^(k) - x4^(k) = 1 3 x1^(k) + 2 x2^(k) - 3 x3^(k) - 2 x4^(k) = 4 4 x1^(k) + 3 x2^(k) + 2 x3^(k) + x4^(k) = 12 , sx^(0) = ( x1^(0) = 0,5, x2^(0) = 2,0, x3^(0) = 0,9, x4^(0) = 1,2 )^t , e . Para isso, vamos precisar manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez até que possamos resolver facilmente.
Aqui está o sistema que vamos resolver:
E também temos uma solução inicial:
Vamos fazer 3 iterações para encontrar melhores aproximações das soluções: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que é uma forma prática para aplicar a Eliminação de Gauss. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os resultados das equações. Ficará assim:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12
O objetivo agora é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero. Isso facilita a solução das equações por substituição.

Passo 3

Vamos começar eliminando o Linha 2 = Linha 2 - 0.5 times Linha 1 das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha para zerar os coeficientes de 1 - 0.5 times 2 = 0, -1 - 0.5 times 2 = -2, 2 - 0.5 times 1 = 1.5, -1 - 0.5 times 1 = -1.5, 1 - 0.5 times 7 = -2.5 nas outras linhas.
  • Linha 2: Já tem Linha 3 = Linha 3 - 1.5 times Linha 1 com coeficiente 1, vamos subtrair 0.5 vezes a Linha 1 para eliminar 3 - 1.5 times 2 = 0, 2 - 1.5 times 2 = -1, -3 - 1.5 times 1 = -4.5, -2 - 1.5 times 1 = -3.5, 4 - 1.5 times 7 = -6.5 .
Linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 1
4 - 2 times 2 = 0, 3 - 2 times 2 = -1, 2 - 2 times 1 = 0, 1 - 2 times 1 = -1, 12 - 2 times 7 = -2
  • Linha 3: Subtraímos 1.5 vezes a Linha 1.
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -1 & -4.5 & -3.5 & | & -6.5 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2
  • Linha 4: Subtraímos 2 vezes a Linha 1.
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Continuando a eliminação, vamos agora eliminar o Linha 3 = Linha 3 + 0.5 times Linha 2 das equações abaixo da segunda. Para isso, usamos a segunda linha para zerar os coeficientes de 0 + 0.5 times 0 = 0, -1 + 0.5 times (-2) = -2, -4.5 + 0.5 times 1.5 = -3.75, -3.5 + 0.5 times (-1.5) = -4.25, -6.5 + 0.5 times (-2.5) = -7.75 nas linhas 3 e 4.
  • Linha 3: Adicionamos 0.5 vezes a Linha 2.
Linha 4 = Linha 4 + 0.5 times Linha 2
0 + 0.5 times 0 = 0, -1 + 0.5 times (-2) = -2, 0 + 0.5 times 1.5 = 0.75, -1 + 0.5 times (-1.5) = -1.75, -2 + 0.5 times (-2.5) = -3.25
  • Linha 4: Adicionamos 0.5 vezes a Linha 2.
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 1.5 & -1.5 & | & -2.5 0 & -2 & -3.75 & -4.25 & | & -7.75 0 & -2 & 0.75 & -1.75 & | & -3.25
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar as linhas 3 e 4 dividindo por Linha 2 = Linha 2-2 para facilitar os cálculos:
  • Linha 2: Dividimos por 0, 1, -0.75, 0.75, 1.25
Linha 3 = Linha 3-2
0, 1, 1.875, 2.125, 3.875
  • Linha 3: Dividimos por Linha 4 = Linha 4-2
0, 1, -0.375, 0.875, 1.625
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 1 & 1.875 & 2.125 & | & 3.875 0 & 1 & -0.375 & 0.875 & | & 1.625
  • Linha 4: Dividimos por
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 - Linha 2 das linhas 3 e 4 usando a segunda linha.
  • Linha 3: Subtraímos a Linha 2 da Linha 3.
0, 0, 1.875 - (-0.75) = 2.625, 2.125 - 0.75 = 1.375, 3.875 - 1.25 = 2.625
Linha 4 = Linha 4 - Linha 2
  • Linha 4: Subtraímos a Linha 2 da Linha 4.
0, 0, -0.375 - (-0.75) = 0.375, 0.875 - 0.75 = 0.125, 1.625 - 1.25 = 0.375
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 2.625 & 1.375 & | & 2.625 0 & 0 & 0.375 & 0.125 & | & 0.375
A matriz agora fica:

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira linha para eliminar Linha 3 = Linha 32.625 da quarta linha.
Primeiro, simplificamos a terceira linha dividindo por 0, 0, 1, 1.3752.625 = 0.5238, 2.6252.625 = 1 :
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 0.5238 & | & 1 0 & 0 & 0.375 & 0.125 & | & 0.375
Linha 4 = Linha 4 - 0.375 times Linha 3
Agora, a matriz fica:
0, 0, 0, 0.125 - 0.375 times 0.5238 = 0, 0.375 - 0.375 times 1 = 0
Agora, eliminamos 2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & 1 & -0.75 & 0.75 & | & 1.25 0 & 0 & 1 & 0.5238 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 da Linha 4 usando a Linha 3:
A matriz agora fica:
Isso indica que o sistema possui uma solução única.

Passo 8

Agora que a matriz está na forma triangular superior, vamos resolver as equações de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
x3 + 0.5238 x4 = 1 Rightarrow x3 = 1 - 0.5238 x4
Da segunda linha:
x2 - 0.75 x3 + 0.75 x4 = 1.25
Substituindo x2 - 0.75 (1 - 0.5238 x4) + 0.75 x4 = 1.25 :
x2 - 0.75 + 0.39285 x4 + 0.75 x4 = 1.25
x2 + 1.14285 x4 = 2
x2 = 2 - 1.14285 x4
2 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 7
Da primeira linha:
2 x1 + 2 (2 - 1.14285 x4) + (1 - 0.5238 x4) + x4 = 7
Substituindo 2 x1 + 4 - 2.2857 x4 + 1 - 0.5238 x4 + x4 = 7 e 2 x1 - 1.8095 x4 = 2 :
x1 = 2 + 1.8095 x42 = 1 + 0.90475 x4

Passo 9

Como temos uma variável x1 = 1 + 0.9048 t livre, podemos atribuir um valor a ela para encontrar soluções específicas. Vamos considerar x2 = 2 - 1.1429 t , onde x3 = 1 - 0.5238 t é qualquer número real.
Então, as soluções ficam:
x4 = t

Passo 10

Porém, o exercício pede para encontrar 3 soluções específicas: x1 = 1 + 0.9048 times 0 = 1 , x2 = 2 - 1.1429 times 0 = 2 e x3 = 1 - 0.5238 times 0 = 1 , utilizando a solução inicial x4 = 0 . Como o sistema possui infinitas soluções, podemos escolher valores específicos para x1 = 1 + 0.9048 times 1 = 1.9048 e obter essas soluções.
Vamos escolher:
  1. Para x2 = 2 - 1.1429 times 1 = 0.8571 : x3 = 1 - 0.5238 times 1 = 0.4762
  2. Para x4 = 1 : x1 = 1 + 0.9048 times (-1) = 0.0952
  3. Para x2 = 2 - 1.1429 times (-1) = 3.1429 : x3 = 1 - 0.5238 times (-1) = 1.5238
Vamos calcular cada uma:
  • x4 = -1 ( )
  • ( )
  • ( )

Resposta

As três soluções para o sistema são:
sx^(1) = 1 2 1 0 , sx^(2) = 1.9048 0.8571 0.4762 1 , sx^(3) = 0.0952 3.1429 1.5238 -1

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