Resolver o sistema de equações utilizando a técnica eliminação de Gauss, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
Fazer 3 soluções .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a técnica de Eliminação de Gauss. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema em uma forma onde seja mais fácil encontrar as soluções para as incógnitas , , e . Para isso, vamos precisar manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez até que possamos resolver facilmente.
Aqui está o sistema que vamos resolver:
E também temos uma solução inicial:
Vamos fazer 3 iterações para encontrar melhores aproximações das soluções: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que é uma forma prática para aplicar a Eliminação de Gauss. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os resultados das equações. Ficará assim:
O objetivo agora é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zero. Isso facilita a solução das equações por substituição.

Passo 3

Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha para zerar os coeficientes de nas outras linhas.
  • Linha 2: Já tem com coeficiente 1, vamos subtrair 0.5 vezes a Linha 1 para eliminar .
  • Linha 3: Subtraímos 1.5 vezes a Linha 1.
  • Linha 4: Subtraímos 2 vezes a Linha 1.
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Continuando a eliminação, vamos agora eliminar o das equações abaixo da segunda. Para isso, usamos a segunda linha para zerar os coeficientes de nas linhas 3 e 4.
  • Linha 3: Adicionamos 0.5 vezes a Linha 2.
  • Linha 4: Adicionamos 0.5 vezes a Linha 2.
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar as linhas 3 e 4 dividindo por para facilitar os cálculos:
  • Linha 2: Dividimos por
  • Linha 3: Dividimos por
  • Linha 4: Dividimos por
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o das linhas 3 e 4 usando a segunda linha.
  • Linha 3: Subtraímos a Linha 2 da Linha 3.
  • Linha 4: Subtraímos a Linha 2 da Linha 4.
A matriz agora fica:

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira linha para eliminar da quarta linha.
Primeiro, simplificamos a terceira linha dividindo por :
Agora, a matriz fica:
Agora, eliminamos da Linha 4 usando a Linha 3:
A matriz agora fica:
Isso indica que o sistema possui uma solução única.

Passo 8

Agora que a matriz está na forma triangular superior, vamos resolver as equações de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
Da segunda linha:
Substituindo :
Da primeira linha:
Substituindo e :

Passo 9

Como temos uma variável livre, podemos atribuir um valor a ela para encontrar soluções específicas. Vamos considerar , onde é qualquer número real.
Então, as soluções ficam:

Passo 10

Porém, o exercício pede para encontrar 3 soluções específicas: , e , utilizando a solução inicial . Como o sistema possui infinitas soluções, podemos escolher valores específicos para e obter essas soluções.
Vamos escolher:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Vamos calcular cada uma:
  • ( )
  • ( )
  • ( )

Resposta

As três soluções para o sistema são:

Exercícios relacionados

Resolver o sistema de equações utilizando a técnica eliminação de Gauss, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
Mostrar a metodologia de eliminação de Gauss.
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do Gauss Seidel, com o ou máximo 4 iterações. (Caso seja necessário, use o critério de convergência para rearranjar as equações).
Dado os sistemas abaixo, resolva-os pela eliminação de Gauss e pela fatoração LU.
b)
Demonstre que a soma de matrizes definidas positivas é uma matriz definida positiva. Em seguida, dê um exemplo para com matrizes de ordem 2 .