Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss.
& rr 2 x1+3 x2+x3-x4= & 6,90 -x1+x2-4 x3+x4= & -6,60 x1+x2+x3+x4= & 10,20 4 x1-5 x2+x3-2 x4= & -12,30 & rr 4 x1+3 x2+2 x3+x4= & 10 x1+2 x2+3 x3+4 x4= & 5 x1-x2-x3-x4= & -1 x1+x2+x3+x4= & 3 & rr x1+2 x2+3 x3+4 x4= & 10 2 x1+x2+2 x3+3 x4= & 7 3 x1+2 x2+x3+2 x4= & 6 4 x1+3 x2+2 x3+x4= & 5 & rr x1+x2+2 x3+4 x4=7,12 x1+x2+5 x3+6 x4= & 12,02 2 x1+5 x2+x3+2 x4= & 14,90 4 x1+6 x2+2 x3+x4= & 20,72

Passo 1

Vamos resolver o primeiro sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Esse método faz parte da matéria de álgebra linear e é muito útil para encontrar soluções de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificá-la até descobrir os valores das variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
2 & 3 & 1 & -1 & | & 6,90 -1 & 1 & -4 & 1 & | & -6,60 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10,20 4 & -5 & 1 & -2 & | & -12,30

Passo 3

O objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zeros. Para isso, vamos começar eliminando o R1 = 12 R1 Rightarrow 1 & 1,5 & 0,5 & -0,5 & | & 3,45 -1 & 1 & -4 & 1 & | & -6,60 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10,20 4 & -5 & 1 & -2 & | & -12,30 das equações abaixo da primeira.
Primeiro, vamos tornar o coeficiente de na segunda linha igual a 1. Para isso, multiplicamos a primeira linha por :

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 & 1,5 & 0,5 & -0,5 & | & 3,45 0 & 2,5 & -3,5 & 0,5 & | & -3,15 0 & -0,5 & 0,5 & 1,5 & | & 6,75 0 & -11 & -1 & 0 & | & -26,10 das outras linhas. Para isso:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Aplicando essas operações:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna e tornar o coeficiente de R2 = 12,5 R2 Rightarrow 1 & 1,5 & 0,5 & -0,5 & | & 3,45 0 & 1 & -1,4 & 0,2 & | & -1,26 0 & -0,5 & 0,5 & 1,5 & | & 6,75 0 & -11 & -1 & 0 & | & -26,10 na segunda linha igual a 1. Dividimos a segunda linha por 2,5:

Passo 6

Vamos eliminar o 1 & 0 & 2,1 & -0,8 & | & 5,49 0 & 1 & -1,4 & 0,2 & | & -1,26 0 & 0 & -1,2 & 1,6 & | & 6,12 0 & 0 & -16,4 & 2,2 & | & -40,86 das outras linhas:
  • Linha 1:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Após as operações:

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira coluna. Primeiro, tornamos o coeficiente de R3 = 1-1,2 R3 Rightarrow 1 & 0 & 2,1 & -0,8 & | & 5,49 0 & 1 & -1,4 & 0,2 & | & -1,26 0 & 0 & 1 & -1,333ldots & | & -5,10 0 & 0 & -16,4 & 2,2 & | & -40,86 na terceira linha igual a 1, dividindo a terceira linha por -1,2:

Passo 8

Eliminamos o 1 & 0 & 0 & 1,066ldots & | & 16,68 0 & 1 & 0 & -1,866ldots & | & -8,54 0 & 0 & 1 & -1,333ldots & | & -5,10 0 & 0 & 0 & -19,333ldots & | & -124,86 das outras linhas:
  • Linha 1:
  • Linha 2:
  • Linha 4:
Após as operações:

Passo 9

Por fim, vamos resolver para -19,333ldots x4 = -124,86 Rightarrow x4 = -124,86-19,333ldots approx 6,45 na quarta linha:

Passo 10

Com o valor de , vamos substituir nas linhas acima para encontrar e :
  • Linha 3:
  • Linha 2:
  • Linha 1:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 approx 10,30 x2 approx 3,54 x3 approx 3,10 x4 approx 6,45

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