Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss.

Passo 1

Vamos resolver o primeiro sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Esse método faz parte da matéria de álgebra linear e é muito útil para encontrar soluções de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificá-la até descobrir os valores das variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:

Passo 3

O objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal sejam zeros. Para isso, vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira.
Primeiro, vamos tornar o coeficiente de na segunda linha igual a 1. Para isso, multiplicamos a primeira linha por :

Passo 4

Agora, vamos eliminar o das outras linhas. Para isso:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Aplicando essas operações:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna e tornar o coeficiente de na segunda linha igual a 1. Dividimos a segunda linha por 2,5:

Passo 6

Vamos eliminar o das outras linhas:
  • Linha 1:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Após as operações:

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira coluna. Primeiro, tornamos o coeficiente de na terceira linha igual a 1, dividindo a terceira linha por -1,2:

Passo 8

Eliminamos o das outras linhas:
  • Linha 1:
  • Linha 2:
  • Linha 4:
Após as operações:

Passo 9

Por fim, vamos resolver para na quarta linha:

Passo 10

Com o valor de , vamos substituir nas linhas acima para encontrar e :
  • Linha 3:
  • Linha 2:
  • Linha 1:

Resposta

A solução do sistema é:

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Resolver pelo método de Gauss-Seidel ou Jacobi com e :
Seja a matriz que se deseja inverter. possui inversa , entIo , onde
Sejam as colunas de . Parase achar a matriz inversa é necessário resolver sistemas lineares, cuja matriz de coeficientes é a mesma, isto é, devem ser resolvidos os sistemas
Aplicar o método acima para achar a inversa da matriz
Resolver, pelo método da pivotação parcial, o sistema abaixo, retendo durante as eliminações e as substituições retroativas cinco casas decimais:
Resolver pelo método de Gauss retendo, durante as eliminações e substituições retroativas, quatro decimais; a seguir, usar refinamento para melhorar a solução: