Seja An times n a matriz que se deseja inverter. Se A possui inversa Xn times n, entIo A X=I, onde I=(ccccc1 & 0 & 0 & ldots & 0 0 & 1 & 0 & ldots & 0 0 & 0 & 1 & ldots & 0 ldots & ldots & ldots & ldots & 1 0 & 0 & 0 & ldots & 1)
Sejam x^(1) x^(2) ldots x^(n) as colunas de X. Parase achar a matriz inversa é necessário resolver n sistemas lineares, cuja matriz de coeficientes é a mesma, isto é, devem ser resolvidos os sistemas
& A x^(1)=(lllll 1 & 0 & 0 & ldots & 0 )^T & A x^(2)=(lllll 0 & 1 & 0 & ldots & 0 )^T & A X^(3)=(lllll 0 & 0 & 1 & ldots & 0 )^T & A X^(n)=(llll 0 & 0 & vdots & ldots )^T
Aplicar o método acima para achar a inversa da matriz
(rrr 2 & 3 & -1 4 & 4 & -3 2 & -3 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos inverter a matriz de tamanho usando um método que envolve resolver três sistemas lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para inverter , precisamos achar uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Para isso, vamos resolver três sistemas onde a matriz de coeficientes é e os termos do lado direito são as colunas da matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema 1 0 0, onde . Isso significa que queremos encontrar o vetor tal que, quando multiplicamos por , obtém-se .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada para esse sistema:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 1 4 & 4 & -3 & 0 2 & -3 & 1 & 0 ]
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para resolver.

Passo 4

Primeiro, fazemos zero abaixo do primeiro elemento:
  • R2 = R2 - 2×R1:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 1 0 & -2 & -1 & -2 2 & -3 & 1 & 0 ]
  • R3 = R3 - R1:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 1 0 & -2 & -1 & -2 0 & -6 & 2 & -1 ]

Passo 5

Agora, fazemos zero abaixo do segundo elemento:
  • R3 = R3 - 3×R2:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 1 0 & -2 & -1 & -2 0 & 0 & 5 & 5 ]

Passo 6

Resolvemos de baixo para cima:
  • Da terceira linha: 14 12 1
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:
Então,

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema 0 1 0, onde .

Passo 8

Montamos a matriz aumentada:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 0 4 & 4 & -3 & 1 2 & -3 & 1 & 0 ]
Usamos a eliminação de Gauss novamente.

Passo 9

Primeiro, zero abaixo do primeiro elemento:
  • R2 = R2 - 2×R1:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 0 0 & -2 & -1 & 1 2 & -3 & 1 & 0 ]
  • R3 = R3 - R1:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 0 0 & -2 & -1 & 1 0 & -6 & 2 & 0 ]

Passo 10

Agora, zero abaixo do segundo elemento:
  • R3 = R3 - 3×R2:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 0 0 & -2 & -1 & 1 0 & 0 & 5 & -3 ]

Passo 11

Resolvemos de baixo para cima:
  • Da terceira linha: 0 -15 -35
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:
Então,

Passo 12

Por fim, vamos resolver o sistema 0 0 1, onde .

Passo 13

Montamos a matriz aumentada:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 0 4 & 4 & -3 & 0 2 & -3 & 1 & 1 ]
E aplicamos a eliminação de Gauss.

Passo 14

Primeiro, zero abaixo do primeiro elemento:
  • R2 = R2 - 2×R1:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 0 0 & -2 & -1 & 0 2 & -3 & 1 & 1 ]
  • R3 = R3 - R1:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 0 0 & -2 & -1 & 0 0 & -6 & 2 & 1 ]

Passo 15

Agora, zero abaixo do segundo elemento:
  • R3 = R3 - 3×R2:
[ccc|c 2 & 3 & -1 & 0 0 & -2 & -1 & 0 0 & 0 & 5 & 1 ]

Passo 16

Resolvemos de baixo para cima:
  • Da terceira linha: 14 -110 15
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:
Então,

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = 14 & 0 & 14 12 & -15 & -110 1 & -35 & 15 é:

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