Seja a matriz que se deseja inverter. possui inversa , entIo , onde
Sejam as colunas de . Parase achar a matriz inversa é necessário resolver sistemas lineares, cuja matriz de coeficientes é a mesma, isto é, devem ser resolvidos os sistemas
Aplicar o método acima para achar a inversa da matriz

Passo 1

Beleza, vamos inverter a matriz de tamanho usando um método que envolve resolver três sistemas lineares. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para inverter , precisamos achar uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. Para isso, vamos resolver três sistemas onde a matriz de coeficientes é e os termos do lado direito são as colunas da matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema , onde . Isso significa que queremos encontrar o vetor tal que, quando multiplicamos por , obtém-se .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada para esse sistema:
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para resolver.

Passo 4

Primeiro, fazemos zero abaixo do primeiro elemento:
  • R2 = R2 - 2×R1:
  • R3 = R3 - R1:

Passo 5

Agora, fazemos zero abaixo do segundo elemento:
  • R3 = R3 - 3×R2:

Passo 6

Resolvemos de baixo para cima:
  • Da terceira linha:
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:
Então,

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema , onde .

Passo 8

Montamos a matriz aumentada:
Usamos a eliminação de Gauss novamente.

Passo 9

Primeiro, zero abaixo do primeiro elemento:
  • R2 = R2 - 2×R1:
  • R3 = R3 - R1:

Passo 10

Agora, zero abaixo do segundo elemento:
  • R3 = R3 - 3×R2:

Passo 11

Resolvemos de baixo para cima:
  • Da terceira linha:
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:
Então,

Passo 12

Por fim, vamos resolver o sistema , onde .

Passo 13

Montamos a matriz aumentada:
E aplicamos a eliminação de Gauss.

Passo 14

Primeiro, zero abaixo do primeiro elemento:
  • R2 = R2 - 2×R1:
  • R3 = R3 - R1:

Passo 15

Agora, zero abaixo do segundo elemento:
  • R3 = R3 - 3×R2:

Passo 16

Resolvemos de baixo para cima:
  • Da terceira linha:
  • Da segunda linha:
  • Da primeira linha:
Então,

Resposta

A matriz inversa de é:

Exercícios relacionados

Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
31a)
31b)
31c)
31d)
31e)
31f)
31g)
31h)
31i)
31j)
31k)
Resolver pelo método de Gauss, retendo quatro decimais:
Resolver pelo método de Gauss-Seidel ou Jacobi com e :
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss.