Resolver, pelo método da pivotação parcial, o sistema abaixo, retendo durante as eliminações e as substituições retroativas cinco casas decimais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da pivotação parcial. Primeiro, vamos entender o que foi pedido:
Enunciado resumido: Temos um sistema de três equações com três incógnitas e precisamos encontrar os valores dessas incógnitas usando a pivotação parcial, cuidando para manter cinco casas decimais durante os cálculos.
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar a eliminação de Gauss com pivotação parcial, que é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando a matriz do sistema em uma forma triangular superior, facilitando a solução por substituição retroativa.
O que vamos precisar:
Organizar o sistema em uma matriz aumentada.
Identificar o maior elemento na coluna atual para fazer a pivotação (troca de linhas).
Eliminarmos os termos abaixo do pivô para formar uma matriz triangular.
Fazer a substituição retroativa para encontrar os valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Passo 3
Agora, vamos iniciar o processo de eliminação. Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos sejam zero.
Primeiro pivô: Olhamos para a primeira coluna e identificamos o maior valor absoluto para aumentar a estabilidade dos cálculos. Entre 1.0234, 5.0831 e 3.4598, o maior valor absoluto é 5.0831 na segunda linha. Então, vamos trocar a primeira linha pela segunda.
Matriz após a troca:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (5.0831). Para isso, faremos operações nas linhas para que os elementos abaixo do pivô na primeira coluna sejam zero.
Para a segunda linha:
Subtraímos 0.2013 vezes a primeira linha da segunda linha:
Para a terceira linha:
Subtraímos (-0.6792) vezes a primeira linha da terceira linha:
Após essas operações, a matriz fica assim (com arredondamento a cinco casas decimais):
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. Identificamos o maior valor absoluto na coluna abaixo do pivô atual (-2.50665), que é 3.37770 na terceira linha. Então, vamos trocar a segunda linha pela terceira.
Matriz após a troca:
Passo 6
Vamos continuar a eliminação. Agora, queremos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (3.37770) na segunda coluna.
Para a terceira linha:
Subtraímos (-0.7420) vezes a segunda linha da terceira linha:
Após essa operação, a matriz fica assim (com arredondamento a cinco casas decimais):
Passo 7
Agora que temos uma matriz triangular superior, vamos fazer a substituição retroativa para encontrar os valores de e .