Resolver, pelo método da pivotação parcial, o sistema abaixo, retendo durante as eliminações e as substituições retroativas cinco casas decimais:
rr1,0234 x1-2,4567 x2+1,2345 x3= & 6,6728 5,0831 x1+1,2500 x2+0,9878 x3= & 6,5263 -3,4598 x1+2,5122 x2-1,2121 x3= & -11,2784

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da pivotação parcial. Primeiro, vamos entender o que foi pedido:
Enunciado resumido: Temos um sistema de três equações com três incógnitas e precisamos encontrar os valores dessas incógnitas usando a pivotação parcial, cuidando para manter cinco casas decimais durante os cálculos.
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar a eliminação de Gauss com pivotação parcial, que é uma técnica para resolver sistemas lineares transformando a matriz do sistema em uma forma triangular superior, facilitando a solução por substituição retroativa.
O que vamos precisar:
  • Organizar o sistema em uma matriz aumentada.
  • Identificar o maior elemento na coluna atual para fazer a pivotação (troca de linhas).
  • Eliminarmos os termos abaixo do pivô para formar uma matriz triangular.
  • Fazer a substituição retroativa para encontrar os valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1.0234 & -2.4567 & 1.2345 & | & 6.6728 5.0831 & 1.2500 & 0.9878 & | & 6.5263 -3.4598 & 2.5122 & -1.2121 & | & -11.2784

Passo 3

Agora, vamos iniciar o processo de eliminação. Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos sejam zero.
Primeiro pivô: Olhamos para a primeira coluna e identificamos o maior valor absoluto para aumentar a estabilidade dos cálculos. Entre 1.0234, 5.0831 e 3.4598, o maior valor absoluto é 5.0831 na segunda linha. Então, vamos trocar a primeira linha pela segunda.
Matriz após a troca:
5.0831 & 1.2500 & 0.9878 & | & 6.5263 1.0234 & -2.4567 & 1.2345 & | & 6.6728 -3.4598 & 2.5122 & -1.2121 & | & -11.2784

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (5.0831). Para isso, faremos operações nas linhas para que os elementos abaixo do pivô na primeira coluna sejam zero.
Para a segunda linha:
m = 1.02345.0831 approx 0.2013
Subtraímos 0.2013 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 0.2013 times Linha 1
Para a terceira linha:
m = -3.45985.0831 approx -0.6792
Subtraímos (-0.6792) vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - (-0.6792) times Linha 1
Após essas operações, a matriz fica assim (com arredondamento a cinco casas decimais):
5.08310 & 1.25000 & 0.98780 & | & 6.52630 0.00000 & -2.50665 & 0.98135 & | & 6.37325 0.00000 & 3.37770 & -0.52825 & | & -7.17770

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Identificamos o maior valor absoluto na coluna abaixo do pivô atual (-2.50665), que é 3.37770 na terceira linha. Então, vamos trocar a segunda linha pela terceira.
Matriz após a troca:
5.08310 & 1.25000 & 0.98780 & | & 6.52630 0.00000 & 3.37770 & -0.52825 & | & -7.17770 0.00000 & -2.50665 & 0.98135 & | & 6.37325

Passo 6

Vamos continuar a eliminação. Agora, queremos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (3.37770) na segunda coluna.
Para a terceira linha:
m = -2.506653.37770 approx -0.7420
Subtraímos (-0.7420) vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - (-0.7420) times Linha 2
Após essa operação, a matriz fica assim (com arredondamento a cinco casas decimais):
5.08310 & 1.25000 & 0.98780 & | & 6.52630 0.00000 & 3.37770 & -0.52825 & | & -7.17770 0.00000 & 0.00000 & 0.57947 & | & -1.45590

Passo 7

Agora que temos uma matriz triangular superior, vamos fazer a substituição retroativa para encontrar os valores de 0.57947 x3 = -1.45590 x3 = -1.455900.57947 approx -2.51229 e 3.37770 x2 - 0.52825 x3 = -7.17770 3.37770 x2 - 0.52825 (-2.51229) = -7.17770 3.37770 x2 + 1.32952 = -7.17770 3.37770 x2 = -7.17770 - 1.32952 3.37770 x2 = -8.50722 x2 = -8.507223.37770 approx -2.52049 .
Encontrando 5.08310 x1 + 1.25000 x2 + 0.98780 x3 = 6.52630 5.08310 x1 + 1.25000 (-2.52049) + 0.98780 (-2.51229) = 6.52630 5.08310 x1 - 3.15061 - 2.48140 = 6.52630 5.08310 x1 = 6.52630 + 3.15061 + 2.48140 5.08310 x1 = 12.15831 x1 = 12.158315.08310 approx 2.39010 :
Encontrando :
Encontrando :

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 approx 2.39010, x2 approx -2.52049, x3 approx -2.51229

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