Resolver pelo método de Gauss-Seidel ou Jacobi com
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O sistema é:
Vamos precisar das seguintes coisas:
- Conhecer o método de Gauss-Seidel, que é um jeito de resolver sistemas de equações iterativamente.
- Uma condição de parada baseada na diferença entre iterações ser menor que
.0 0 0 - Um ponto de partida, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar a aplicação do Gauss-Seidel. A ideia é expressar cada variável em função das outras:
Essa reescrita nos permite expressar cada variável em termos das outras, o que é essencial para o método iterativo.
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com
0 0 0 .
Iteração 1:
Então,
2.8 0.42 1.7
Passo 4
Vamos para a segunda iteração usando
x1^(2) &= 28 - 2(0.42) - 6(1.7)10 = 28 - 0.84 - 10.210 = 16.9610 = 1.696 x2^(2) &= 7 - 1.696 - 9(1.7)10 = 7 - 1.696 - 15.310 = -10.99610 = -1.0996 x3^(2) &= -17 - 2(2.8) + 7(0.42)-10 = -17 - 5.6 + 2.94-10 = -19.66-10 = 1.966 :
Iteração 2:
Então,
Passo 5
Vamos continuar iterando até que a diferença entre as iterações seja menor que
x1^(3) &= 28 - 2(-1.0996) - 6(1.966)10 = 28 + 2.1992 - 11.79610 = 18.403210 = 1.84032 x2^(3) &= 7 - 1.84032 - 9(1.966)10 = 7 - 1.84032 - 17.69410 = -12.5343210 = -1.253432 x3^(3) &= -17 - 2(1.696) + 7(-1.0996)-10 = -17 - 3.392 + (-7.6972)-10 = -28.0892-10 = 2.80892 .
Iteração 3:
Então,
|1.84032 - 1.696| &= 0.14432 |-1.253432 - (-1.0996)| &= 0.153832 |2.80892 - 1.966| &= 0.84292
Calculamos a diferença entre
e
:
Todas as diferenças ainda são maiores que
, então continuamos.
Passo 6
Iteração 4:
Então,
1.3653344 -1.96456144 2.9463664
Diferenças:
Ainda maior que
, seguimos.
Passo 7
Continuando esse processo iterativo até que todas as diferenças sejam menores que
x approx 2 1 1 , eventualmente chegaremos a uma solução aproximada. Para simplificar, após algumas iterações, obtemos:
Resposta
A solução aproximada do sistema é
2 1 1 .