Resolver pelo método de Gauss-Seidel ou Jacobi com e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O sistema é:
Vamos precisar das seguintes coisas:
  • Conhecer o método de Gauss-Seidel, que é um jeito de resolver sistemas de equações iterativamente.
  • Uma condição de parada baseada na diferença entre iterações ser menor que .
  • Um ponto de partida, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar a aplicação do Gauss-Seidel. A ideia é expressar cada variável em função das outras:
Essa reescrita nos permite expressar cada variável em termos das outras, o que é essencial para o método iterativo.

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Começamos com .
Iteração 1:
Então,

Passo 4

Vamos para a segunda iteração usando :
Iteração 2:
Então,

Passo 5

Vamos continuar iterando até que a diferença entre as iterações seja menor que .
Iteração 3:
Então,
Calculamos a diferença entre e :
Todas as diferenças ainda são maiores que , então continuamos.

Passo 6

Iteração 4:
Então,
Diferenças:
Ainda maior que , seguimos.

Passo 7

Continuando esse processo iterativo até que todas as diferenças sejam menores que , eventualmente chegaremos a uma solução aproximada. Para simplificar, após algumas iterações, obtemos:

Resposta

A solução aproximada do sistema é .

Exercícios relacionados

Seja a matriz que se deseja inverter. possui inversa , entIo , onde
Sejam as colunas de . Parase achar a matriz inversa é necessário resolver sistemas lineares, cuja matriz de coeficientes é a mesma, isto é, devem ser resolvidos os sistemas
Aplicar o método acima para achar a inversa da matriz
Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
31a)
31b)
31c)
31d)
31e)
31f)
31g)
31h)
31i)
31j)
31k)
Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss.
Resolver, pelo método da pivotação parcial, o sistema abaixo, retendo durante as eliminações e as substituições retroativas cinco casas decimais: