Determinar um vetor tangente ao hodógrafo de g(t) = cos(t) * i + sen(t) * j + k, t in [0, 2 pi], no ponto P(0, 1, 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial , definida para . O hodógrafo é o gráfico dessa função vetorial. Nosso objetivo é encontrar um vetor tangente ao hodógrafo no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas vetoriais e entender o conceito de vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de t que faz com que seja igual ao ponto . Vamos igualar as componentes:
Resolvendo e no intervalo , encontramos que .

Passo 3

Agora que temos , vamos calcular a derivada da função em relação a t, que nos dará o vetor velocidade ou vetor tangente ao hodógrafo nesse ponto.
A derivada de é:

Passo 4

Substituindo na derivada :

Passo 5

Portanto, o vetor tangente ao hodógrafo de no ponto é .

Resposta

O vetor tangente ao hodógrafo no ponto é .

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