Resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que envolve derivadas de
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição para equações homogêneas, que é uma técnica comum em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todas as suas partes podem ser expressas como funções de
. Observando tanto o numerador quanto o denominador:
- Numerador:
é de grau 2. - Denominador:
também é de grau 2.
Como ambos têm o mesmo grau, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição
para simplificar.
Passo 3
Vamos definir
. Então,
. Agora, precisamos expressar
em termos de
e
:
Substituindo isso na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Simplificando o lado direito:
Fatorando:
Passo 5
Vamos separar as variáveis para integrar:
Para simplificar a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Combinando os logaritmos:
Exponentiando ambos os lados:
Onde
é uma nova constante.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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,
, no ponto
.
Esta série converge? Se afirmativo, qual é a soma? Em quais valores de
ela converge?