Resolva a equação

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a seguinte equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que envolve derivadas de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de substituição para equações homogêneas, que é uma técnica comum em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todas as suas partes podem ser expressas como funções de . Observando tanto o numerador quanto o denominador:
  • Numerador: é de grau 2.
  • Denominador: também é de grau 2.
Como ambos têm o mesmo grau, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos definir . Então, . Agora, precisamos expressar em termos de e :
Substituindo isso na equação original:
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Fatorando:

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar:
Para simplificar a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Combinando os logaritmos:
Exponentiando ambos os lados:
Onde é uma nova constante.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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