Esta série converge? Se afirmativo, qual é a soma? Em quais valores de ela converge?
Passo 1
Vamos analisar a série . Esse exercício pertence ao conteúdo de séries geométricas. Para resolvê-lo, precisamos verificar se a série converge, calcular a soma caso converja e determinar os valores de para os quais isso ocorre.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum.
Passo 3
Identificamos o primeiro termo e a razão da nossa série. No nosso caso:
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, a razão deve satisfazer a condição:
Substituindo :
Passo 5
Resolvemos a desigualdade:
Multiplicando todos os lados por 2:
Adicionando 3 a todas as partes:
Passo 6
Agora que sabemos que a série converge para , calculamos a soma da série geométrica. A fórmula da soma de uma série geométrica que converge é: