Esta série converge? Se afirmativo, qual é a soma? Em quais valores de ela converge?
Passo 1
Vamos analisar a série . Esse exercício pertence ao conteúdo de séries geométricas. Para resolvê-lo, precisamos verificar se a série converge, calcular a soma caso converja e determinar os valores de para os quais isso ocorre.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum.
Passo 3
Identificamos o primeiro termo e a razão da nossa série. No nosso caso:
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, a razão deve satisfazer a condição:
Substituindo :
Passo 5
Resolvemos a desigualdade:
|x-32| < 1 Rightarrow -1 < x-32 < 1
Multiplicando todos os lados por 2:
-2 < x - 3 < 2
Adicionando 3 a todas as partes:
1 < x < 5
Passo 6
Agora que sabemos que a série converge para 1 < x < 5, calculamos a soma da série geométrica. A fórmula da soma de uma série geométrica que converge é:
S = a1 - r
Substituindo a = 1 e r = x-3-2:
S = 11 - (x-3-2) = 11 + x-32 = 22 + x - 3 = 2x - 1
Resposta
A série converge para 1 < x < 5 e a sua soma é S = 2x - 1.