Esta série converge? Se afirmativo, qual é a soma? Em quais valores de ela converge?

Passo 1

Vamos analisar a série . Esse exercício pertence ao conteúdo de séries geométricas. Para resolvê-lo, precisamos verificar se a série converge, calcular a soma caso converja e determinar os valores de para os quais isso ocorre.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum.

Passo 3

Identificamos o primeiro termo e a razão da nossa série. No nosso caso:

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão deve satisfazer a condição:
Substituindo :

Passo 5

Resolvemos a desigualdade:
Multiplicando todos os lados por 2:
Adicionando 3 a todas as partes:

Passo 6

Agora que sabemos que a série converge para , calculamos a soma da série geométrica. A fórmula da soma de uma série geométrica que converge é:
Substituindo e :

Resposta

A série converge para e a sua soma é .

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