Esta série converge? Se afirmativo, qual é a soma? Em quais valores de x ela converge?
sumk=0^infty (x-3)^k(-2)^k

Passo 1

Vamos analisar a série sumk=0^infty (x-3)^k(-2)^k. Esse exercício pertence ao conteúdo de séries geométricas. Para resolvê-lo, precisamos verificar se a série converge, calcular a soma caso converja e determinar os valores de x para os quais isso ocorre.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumk=0^infty ar^k, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum.

Passo 3

Identificamos o primeiro termo a e a razão r da nossa série. No nosso caso:
a = (x-3)^0(-2)^0 = 1
r = x-3-2

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão r deve satisfazer a condição:
|r| < 1
Substituindo r:
|x-3-2| < 1 Rightarrow |x-32| < 1

Passo 5

Resolvemos a desigualdade:
|x-32| < 1 Rightarrow -1 < x-32 < 1
Multiplicando todos os lados por 2:
-2 < x - 3 < 2
Adicionando 3 a todas as partes:
1 < x < 5

Passo 6

Agora que sabemos que a série converge para 1 < x < 5, calculamos a soma da série geométrica. A fórmula da soma de uma série geométrica que converge é:
S = a1 - r
Substituindo a = 1 e r = x-3-2:
S = 11 - (x-3-2) = 11 + x-32 = 22 + x - 3 = 2x - 1

Resposta

A série converge para 1 < x < 5 e a sua soma é S = 2x - 1.

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