Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Taylor da função com centro em . Quando o centro é zero, a série de Taylor é chamada de série de MacLaurin. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da série de MacLaurin e aplicá-la à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de MacLaurin para a função , que é uma série geométrica básica. Ela é dada por:

Passo 3

Agora, vamos decompor a função de forma a utilizar a série que acabamos de lembrar. Podemos escrever:
Isso nos permite separar a função em duas partes que podemos expandir usando a série de MacLaurin.

Passo 4

Substituindo a série de MacLaurin na expressão acima, temos:

Passo 5

Agora, vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:

Passo 6

Por fim, vamos somar os termos semelhantes:

Resposta

A série de MacLaurin da função é:

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