Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Taylor da função
com centro em
. Quando o centro é zero, a série de Taylor é chamada de série de MacLaurin. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da série de MacLaurin e aplicá-la à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de MacLaurin para a função
, que é uma série geométrica básica. Ela é dada por:
Passo 3
Agora, vamos decompor a função
de forma a utilizar a série que acabamos de lembrar. Podemos escrever:
Isso nos permite separar a função em duas partes que podemos expandir usando a série de MacLaurin.
Passo 4
Substituindo a série de MacLaurin na expressão acima, temos:
Passo 5
Agora, vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
Passo 6
Por fim, vamos somar os termos semelhantes:
Resposta
A série de MacLaurin da função
é:
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ela converge?
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,
, no ponto
.
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Estime o erro envolvido ao se usar para aproximar um polinômio de Taylor de grau
, com centro em
, a função
em
.