Determine a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A gente vai precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação dada e a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que a gente possa identificar os termos padrão de uma equação linear de primeira ordem. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por
para deixar a equação no formato padrão
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Resolva o PVI
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de
.
Resolva a equação
Determinar um vetor tangente ao hodógrafo de
,
, no ponto
.