Determine a solução do PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A gente vai precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. O objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação dada e a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que a gente possa identificar os termos padrão de uma equação linear de primeira ordem. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por para deixar a equação no formato padrão :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Simplificando:

Resposta

A solução do PVI é:

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