Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v1=(1,1,0) e v2=(2,-1,3). Nas mesmas condiçōes, determinar um vetor de módulo 5 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores v1 = (1,1,0) e v2 = (2,-1,3). Além disso, também precisamos encontrar um vetor com módulo 5 que satisfaça essas mesmas condições. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v1 times v2. Lembrando que, para dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), o produto vetorial é dado por:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
v1 times v2 = ( 1 cdot 3 - 0 cdot (-1), 0 cdot 2 - 1 cdot 3, 1 cdot (-1) - 1 cdot 2 ) = (3, -3, -3)

Passo 3

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, que é w = (3, -3, -3), precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Para isso, vamos calcular o módulo de w, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:
|w| = raiz3^2 + (-3)^2 + (-3)^2 = raiz9 + 9 + 9 = raiz27 = 3raiz3

Passo 4

Com o módulo de w calculado, podemos encontrar o vetor unitário dividindo cada componente de w pelo seu módulo:
u = w|w| = ( 33raiz3, -33raiz3, -33raiz3 ) = ( 1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 )

Passo 5

Por último, para encontrar um vetor com módulo 5 que também seja ortogonal aos vetores v1 e v2, basta multiplicar o vetor unitário u por 5:
v = 5 cdot u = 5 ( 1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) = ( 5raiz3, -5raiz3, -5raiz3 )

Resposta

O vetor unitário ortogonal a v1 e v2 é ( dfrac1raiz3, dfrac-1raiz3, dfrac-1raiz3 ) e um vetor de módulo 5 nas mesmas condições é ( dfrac5raiz3, dfrac-5raiz3, dfrac-5raiz3 ).

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