Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos .
Uma resposta é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal (ou perpendicular) ao plano formado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, -1, 1) e C(4, 1, -2). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e calcular o produto vetorial entre dois vetores que estão nesse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos A, B e C. Podemos fazer isso calculando os vetores que ligam A a B e A a C.
  • Vetor AB: para encontrar o vetor que vai de A até B, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B.
  • Vetor AC: da mesma forma, encontramos o vetor que vai de A até C.

Passo 3

Agora que temos os vetores e que estão no plano, podemos encontrar um vetor que seja perpendicular a esse plano calculando o produto vetorial entre eles. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.
A fórmula do produto vetorial é:
Onde e .

Passo 4

Vamos aplicar os valores dos vetores e na fórmula:
Calculando cada componente do produto vetorial:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:

Resposta

Portanto, o vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A, B e C é .

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