Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos
.
Uma resposta é
Uma resposta é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal (ou perpendicular) ao plano formado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, -1, 1) e C(4, 1, -2). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e calcular o produto vetorial entre dois vetores que estão nesse plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos A, B e C. Podemos fazer isso calculando os vetores que ligam A a B e A a C.
-
Vetor AB: para encontrar o vetor que vai de A até B, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B.
-
Vetor AC: da mesma forma, encontramos o vetor que vai de A até C.
Passo 3
Agora que temos os vetores
e
que estão no plano, podemos encontrar um vetor que seja perpendicular a esse plano calculando o produto vetorial entre eles. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.
A fórmula do produto vetorial
é:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos aplicar os valores dos vetores
e
na fórmula:
Calculando cada componente do produto vetorial:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Resposta
Portanto, o vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A, B e C é
.
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e
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e 30 o ângulo entre
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e
.
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