Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2,3,1), B(1,-1,1) e C(4,1,-2).
Uma resposta é (12,-3,10)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal (ou perpendicular) ao plano formado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, -1, 1) e C(4, 1, -2). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores no espaço tridimensional e calcular o produto vetorial entre dois vetores que estão nesse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos A, B e C. Podemos fazer isso calculando os vetores que ligam A a B e A a C.
  • Vetor AB: para encontrar o vetor que vai de A até B, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B.
    AB = B - A = (1 - 2, -1 - 3, 1 - 1) = (-1, -4, 0)
  • Vetor AC: da mesma forma, encontramos o vetor que vai de A até C.
    AC = C - A = (4 - 2, 1 - 3, -2 - 1) = (2, -2, -3)

Passo 3

Agora que temos os vetores AB times AC = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 ) e que estão no plano, podemos encontrar um vetor que seja perpendicular a esse plano calculando o produto vetorial entre eles. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.
A fórmula do produto vetorial é:
Onde e .

Passo 4

Vamos aplicar os valores dos vetores AB = (-1, -4, 0) e AC = (2, -2, -3) na fórmula:
(-4) times (-3) - 0 times (-2) = 12 - 0 = 12
0 times 2 - (-1) times (-3) = 0 - 3 = -3
Calculando cada componente do produto vetorial:
  • Primeira componente:
    (-1) times (-2) - (-4) times 2 = 2 - (-8) = 10
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:

Resposta

Portanto, o vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A, B e C é .

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