Sabendo que |u|=6, v=4 e 30 o ângulo entre u e v, determine: a area do paralelogramo determinado por u+v e u-v.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u com comprimento 6 e v com comprimento 4, formando um ângulo de 30 graus entre eles. O que precisamos encontrar é a área do paralelogramo formado pelos vetores u + v e u - v. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o cálculo do produto vetorial que nos dá a área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores a e b é dada pelo módulo do produto vetorial entre eles: |a times b|. No nosso caso, a = u + v e b = u - v.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial (u + v) times (u - v). Expandindo, temos:
(u + v) times (u - v) = u times u - u times v + v times u - v times v

Passo 4

Sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero, ou seja, u times u = 0 e v times v = 0. Além disso, v times u = -u times v. Então, simplificando:
(u + v) times (u - v) = 0 - u times v - u times v - 0 = -2 (u times v)

Passo 5

O módulo do produto vetorial |u times v| é igual ao produto dos módulos dos vetores multiplicado pelo seno do ângulo entre eles:
|u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
Onde theta = 30^circ.

Passo 6

Substituindo os valores:
|u times v| = 6 cdot 4 cdot sin(30^circ)
Sabemos que sin(30^circ) = 0,5, então:
|u times v| = 6 cdot 4 cdot 0,5 = 12

Passo 7

Agora, lembrando que a área do paralelogramo é |(u + v) times (u - v)| = |-2 (u times v)| = 2 |u times v|, então:
Área = 2 cdot 12 = 24Á

Resposta

A área do paralelogramo é 24 unidades².

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