Resolver os sistemas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema que envolve operações com vetores, especificamente o produto vetorial (ou cruz) e o produto escalar (ou ponto). A gente precisa encontrar o vetor
que satisfaz as duas equações dadas:
Pra isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e o produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o vetor
de forma geral. A gente pode escrever:
Aqui,
,
e
são os componentes do vetor
nas direções dos eixos
,
e
, respectivamente. Nosso objetivo é descobrir os valores de
,
e
.
Passo 3
Vamos usar a primeira equação do sistema:
. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais. Para calcular
, substituímos
pela expressão que definimos:
Usando as propriedades do produto vetorial:
Portanto:
Igualando isso a
:
Isso nos dá duas equações:
Daí, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação do sistema:
. O produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos dos componentes correspondentes:
Sabemos que isso é igual a 10:
Passo 5
Já sabemos que
e
da etapa anterior. Vamos substituir esses valores na equação:
Resposta
O vetor
que resolve o sistema é: