Resolver os sistemas lx times j=k x cdot(4 i-2 j+k)=10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema que envolve operações com vetores, especificamente o produto vetorial (ou cruz) e o produto escalar (ou ponto). A gente precisa encontrar o vetor x times j = k x cdot (4i - 2j + k) = 10 que satisfaz as duas equações dadas:
Pra isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e o produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor x = a,i + b,j + c,k de forma geral. A gente pode escrever:
Aqui, , e são os componentes do vetor nas direções dos eixos , e , respectivamente. Nosso objetivo é descobrir os valores de , e .

Passo 3

Vamos usar a primeira equação do sistema: x times j = (a,i + b,j + c,k) times j . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais. Para calcular i times j = k, j times j = 0, k times j = -i , substituímos x times j = a,k + 0,0 - c,i = -c,i + a,k pela expressão que definimos:
-c,i + a,k = k
Usando as propriedades do produto vetorial:
-c = 0 e a = 1
Portanto:
c = 0 e a = 1
Igualando isso a :
Isso nos dá duas equações:
Daí, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação do sistema: x cdot (4i - 2j + k) = (a,i + b,j + c,k) cdot (4,i - 2,j + 1,k) = 4a - 2b + c . O produto escalar entre dois vetores é a soma dos produtos dos componentes correspondentes:
4a - 2b + c = 10
Sabemos que isso é igual a 10:

Passo 5

Já sabemos que 4(1) - 2b + 0 = 10 4 - 2b = 10 -2b = 10 - 4 -2b = 6 b = -3 e da etapa anterior. Vamos substituir esses valores na equação:

Resposta

O vetor x = 1,i - 3,j + 0,k ou simplificando x = i - 3,j que resolve o sistema é:

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