Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são e , e o ponto médio das diagonais é . Calcular a área do paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! Temos dois vértices consecutivos de um paralelogramo: e . Além disso, sabemos que o ponto médio das diagonais é . Nosso objetivo é calcular a área desse paralelogramo.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especialmente aqueles relacionados a vetores, pontos médios e área de paralelogramos.
O que vamos precisar:
  • Fórmula do ponto médio no espaço.
  • Propriedades dos paralelogramos (como diagonais que se bissetam).
  • Cálculo de vetores.
  • Produto vetorial para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, o ponto médio das diagonais é o mesmo para ambas. Isso significa que se temos os vértices e , e o ponto médio , podemos encontrar os outros dois vértices e .
Vamos chamar os vértices do paralelogramo de , , e , onde e são consecutivos. As diagonais serão e , que se cruzam no ponto médio .

Passo 3

Vamos encontrar o vetor . Sabemos que é o ponto médio de , então podemos usar a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores que temos:
Agora, basta resolver para , e :
Então, o ponto é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto . Sabemos que também é o ponto médio de . Vamos usar a mesma fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores que temos:
Resolvendo para , e :
Então, o ponto é .

Passo 5

Agora que temos os quatro vértices do paralelogramo: , , e , vamos calcular a área.
A área de um paralelogramo no espaço tridimensional pode ser encontrada pelo módulo do produto vetorial de dois vetores que representam os lados adjacentes.
Primeiro, vamos encontrar os vetores e :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

[
\vec{AB} \times \vec{AD} =


]

Passo 7

A área do paralelogramo é igual ao módulo desse vetor resultante. O módulo de um vetor é dado por:
Calculando o módulo de :
Simplificando, temos:

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área.

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