Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A(2,-4,0) e B(1,-3,-1), e o ponto médio das diagonais é M(3,2,-2). Calcular a área do paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! Temos dois vértices consecutivos de um paralelogramo: e . Além disso, sabemos que o ponto médio das diagonais é . Nosso objetivo é calcular a área desse paralelogramo.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especialmente aqueles relacionados a vetores, pontos médios e área de paralelogramos.
O que vamos precisar:
  • Fórmula do ponto médio no espaço.
  • Propriedades dos paralelogramos (como diagonais que se bissetam).
  • Cálculo de vetores.
  • Produto vetorial para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, o ponto médio das diagonais é o mesmo para ambas. Isso significa que se temos os vértices e , e o ponto médio , podemos encontrar os outros dois vértices e .
Vamos chamar os vértices do paralelogramo de , , e , onde e são consecutivos. As diagonais serão e , que se cruzam no ponto médio .

Passo 3

Vamos encontrar o vetor M = ( Ax + Cx2, Ay + Cy2, Az + Cz2 ) . Sabemos que (3, 2, -2) = ( 2 + Cx2, -4 + Cy2, 0 + Cz2 ) é o ponto médio de 2 + Cx2 = 3 Rightarrow 2 + Cx = 6 Rightarrow Cx = 4 , então podemos usar a fórmula do ponto médio:
-4 + Cy2 = 2 Rightarrow -4 + Cy = 4 Rightarrow Cy = 8
Substituindo os valores que temos:
0 + Cz2 = -2 Rightarrow Cz = -4
Agora, basta resolver para , e :
Então, o ponto é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto M = ( Bx + Dx2, By + Dy2, Bz + Dz2 ) . Sabemos que (3, 2, -2) = ( 1 + Dx2, -3 + Dy2, -1 + Dz2 ) também é o ponto médio de 1 + Dx2 = 3 Rightarrow 1 + Dx = 6 Rightarrow Dx = 5 . Vamos usar a mesma fórmula do ponto médio:
-3 + Dy2 = 2 Rightarrow -3 + Dy = 4 Rightarrow Dy = 7
Substituindo os valores que temos:
-1 + Dz2 = -2 Rightarrow -1 + Dz = -4 Rightarrow Dz = -3
Resolvendo para , e :
Então, o ponto é .

Passo 5

Agora que temos os quatro vértices do paralelogramo: AB = B - A = (1-2, -3 - (-4), -1 - 0) = (-1, 1, -1) , AD = D - A = (5-2, 7 - (-4), -3 - 0) = (3, 11, -3) , e , vamos calcular a área.
A área de um paralelogramo no espaço tridimensional pode ser encontrada pelo módulo do produto vetorial de dois vetores que representam os lados adjacentes.
Primeiro, vamos encontrar os vetores e :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v = (uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx) . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores AB times AD = (-1)(-3) - (-1)(11) (-1)(3) - (-1)(-3) (-1)(11) - (1)(3) = 3 - (-11) -3 - 3 -11 - 3 = 14 -6 -14 e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

[
\vec{AB} \times \vec{AD} =


]

Passo 7

A área do paralelogramo é igual ao módulo desse vetor resultante. O módulo de um vetor |w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2 é dado por:
|AB times AD| = raiz14^2 + (-6)^2 + (-14)^2 = raiz196 + 36 + 196 = raiz428
Calculando o módulo de raiz428 = raiz4 times 107 = 2raiz107 :
Simplificando, temos:

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área.

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