Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são e , e o ponto médio das diagonais é . Calcular a área do paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! Temos dois vértices consecutivos de um paralelogramo: e . Além disso, sabemos que o ponto médio das diagonais é . Nosso objetivo é calcular a área desse paralelogramo.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especialmente aqueles relacionados a vetores, pontos médios e área de paralelogramos.
O que vamos precisar:
Fórmula do ponto médio no espaço.
Propriedades dos paralelogramos (como diagonais que se bissetam).
Cálculo de vetores.
Produto vetorial para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, o ponto médio das diagonais é o mesmo para ambas. Isso significa que se temos os vértices e , e o ponto médio , podemos encontrar os outros dois vértices e .
Vamos chamar os vértices do paralelogramo de , , e , onde e são consecutivos. As diagonais serão e , que se cruzam no ponto médio .
Passo 3
Vamos encontrar o vetor . Sabemos que é o ponto médio de , então podemos usar a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores que temos:
Agora, basta resolver para , e :
Então, o ponto é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ponto . Sabemos que também é o ponto médio de . Vamos usar a mesma fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores que temos:
Resolvendo para , e :
Então, o ponto é .
Passo 5
Agora que temos os quatro vértices do paralelogramo: , , e , vamos calcular a área.
A área de um paralelogramo no espaço tridimensional pode ser encontrada pelo módulo do produto vetorial de dois vetores que representam os lados adjacentes.
Primeiro, vamos encontrar os vetores e :
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
[
\vec{AB} \times \vec{AD} =
]
Passo 7
A área do paralelogramo é igual ao módulo desse vetor resultante. O módulo de um vetor é dado por: