Encontre a transformação linear
que faz a rotação de
, no sentido anti-horário para cada vetor
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma transformação linear, chamada
, que vai rodar qualquer vetor
no plano
em
no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as matrizes de rotação e como aplicá-las a vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, preservando operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, focando na rotação, sabemos que para rotacionar um vetor no plano, usamos uma matriz de rotação. Essa matriz depende do ângulo pelo qual queremos girar o vetor. Para um ângulo
, a matriz de rotação é dada por:
Passo 4
No nosso caso, o ângulo de rotação é
. Então, vamos substituir
por
na matriz:
Passo 5
Sabemos que
. Substituindo esses valores na matriz:
Passo 6
Então, a transformação linear
que rota qualquer vetor
em
no sentido anti-horário é representada por essa matriz. Para aplicar a transformação, multiplicamos a matriz pelo vetor:
Resposta
A transformação linear
que faz a rotação de
no sentido anti-horário é dada pela matriz: