Encontre a transformação linear que faz a rotação de , no sentido anti-horário para cada vetor
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma transformação linear, chamada , que vai rodar qualquer vetor no plano em no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as matrizes de rotação e como aplicá-las a vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, preservando operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, focando na rotação, sabemos que para rotacionar um vetor no plano, usamos uma matriz de rotação. Essa matriz depende do ângulo pelo qual queremos girar o vetor. Para um ângulo , a matriz de rotação é dada por:
Passo 4
No nosso caso, o ângulo de rotação é . Então, vamos substituir por na matriz:
Passo 5
Sabemos que . Substituindo esses valores na matriz:
Passo 6
Então, a transformação linear que rota qualquer vetor em no sentido anti-horário é representada por essa matriz. Para aplicar a transformação, multiplicamos a matriz pelo vetor:
Resposta
A transformação linear que faz a rotação de no sentido anti-horário é dada pela matriz: