Encontre a transformação linear que faz a rotação de , no sentido anti-horário para cada vetor

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma transformação linear, chamada , que vai rodar qualquer vetor no plano em no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as matrizes de rotação e como aplicá-las a vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, preservando operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, focando na rotação, sabemos que para rotacionar um vetor no plano, usamos uma matriz de rotação. Essa matriz depende do ângulo pelo qual queremos girar o vetor. Para um ângulo , a matriz de rotação é dada por:

Passo 4

No nosso caso, o ângulo de rotação é . Então, vamos substituir por na matriz:

Passo 5

Sabemos que . Substituindo esses valores na matriz:

Passo 6

Então, a transformação linear que rota qualquer vetor em no sentido anti-horário é representada por essa matriz. Para aplicar a transformação, multiplicamos a matriz pelo vetor:

Resposta

A transformação linear que faz a rotação de no sentido anti-horário é dada pela matriz:

Exercícios relacionados

Encontre a transformação linear que faz a projeção de cada vetor sobre a reta .
Responda:
(g) Em termos do número de incógnitas do sistema e dos postos das matrizes ampliada e dos coeficientes, quando um sistema é possível com uma única solução, possível com infinitas soluções ou impossível?
Determinar o vetor , ortogonal ao eixo e , sendo .
Determine a posição relativa entre a reta e o plano dados:
a) e
b) e
c)