Encontre a transformação linear R O T: R^2 R^2 que faz a rotação de 45^circ, no sentido anti-horário para cada vetor (x, y)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma transformação linear, chamada ROT, que vai rodar qualquer vetor (x, y) no plano R^2 em 45^circ no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as matrizes de rotação e como aplicá-las a vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função que pega vetores de um espaço e os transforma em vetores de outro espaço, preservando operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, focando na rotação, sabemos que para rotacionar um vetor no plano, usamos uma matriz de rotação. Essa matriz depende do ângulo pelo qual queremos girar o vetor. Para um ângulo theta, a matriz de rotação é dada por:
R(theta) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta

Passo 4

No nosso caso, o ângulo de rotação é 45^circ. Então, vamos substituir theta por 45^circ na matriz:
R(45^circ) = cos 45^circ & -sin 45^circ sin 45^circ & cos 45^circ

Passo 5

Sabemos que cos 45^circ = sin 45^circ = raiz22. Substituindo esses valores na matriz:
R(45^circ) = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22

Passo 6

Então, a transformação linear ROT que rota qualquer vetor (x, y) em 45^circ no sentido anti-horário é representada por essa matriz. Para aplicar a transformação, multiplicamos a matriz pelo vetor:
ROT x y = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 x y = raiz22x - raiz22y raiz22x + raiz22y

Resposta

A transformação linear ROT que faz a rotação de 45^circ no sentido anti-horário é dada pela matriz:
ROT = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22

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