Encontre a transformação linear
que faz a projeção de cada vetor
sobre a reta
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear
que projeta qualquer vetor
na reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o de projeção de vetores em uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção. Projetar um vetor sobre uma reta significa encontrar o ponto na reta mais próximo desse vetor, de modo que a diferença entre o vetor original e a sua projeção seja perpendicular à reta.
Passo 3
A reta
pode ser representada por um vetor diretor. Um vetor diretor para essa reta é
.
Passo 4
A fórmula para a projeção de um vetor
sobre um vetor
é:
Vamos aplicar essa fórmula para qualquer vetor
.
Passo 5
Calculando o produto escalar
.
Calculando
.
Passo 6
Substituindo na fórmula da projeção:
Passo 7
Agora, queremos expressar isso como uma transformação linear
aplicada a
. Observamos que:
Isso pode ser representado por uma matriz:
Resposta
A transformação linear que projeta qualquer vetor
sobre a reta
é dada pela matriz
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Responda:
(g) Em termos do número de incógnitas do sistema e dos postos das matrizes ampliada e dos coeficientes, quando um sistema é possível com uma única solução, possível com infinitas soluções ou impossível?
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Encontre a transformação linear
tal que
e
.
Encontre a transformação linear
que faz a rotação de
, no sentido anti-horário para cada vetor
Determinar o vetor
, ortogonal ao eixo
e
, sendo
.