Encontre a transformação linear
que faz a projeção de cada vetor
sobre a reta
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear
que projeta qualquer vetor
na reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o de projeção de vetores em uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção. Projetar um vetor sobre uma reta significa encontrar o ponto na reta mais próximo desse vetor, de modo que a diferença entre o vetor original e a sua projeção seja perpendicular à reta.
Passo 3
A reta
pode ser representada por um vetor diretor. Um vetor diretor para essa reta é
.
Passo 4
A fórmula para a projeção de um vetor
sobre um vetor
é:
Vamos aplicar essa fórmula para qualquer vetor
.
Passo 5
Calculando o produto escalar
.
Calculando
.
Passo 6
Substituindo na fórmula da projeção:
Passo 7
Agora, queremos expressar isso como uma transformação linear
aplicada a
. Observamos que:
Isso pode ser representado por uma matriz:
Resposta
A transformação linear que projeta qualquer vetor
sobre a reta
é dada pela matriz