Encontre a transformação linear P: R^2 R^2 que faz a projeção de cada vetor (x, y) sobre a reta y=x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear que projeta qualquer vetor na reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o de projeção de vetores em uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção. Projetar um vetor sobre uma reta significa encontrar o ponto na reta mais próximo desse vetor, de modo que a diferença entre o vetor original e a sua projeção seja perpendicular à reta.

Passo 3

A reta 1 1 pode ser representada por um vetor diretor. Um vetor diretor para essa reta é .

Passo 4

A fórmula para a projeção de um vetor proju (v) = ( v cdot uu cdot u ) u sobre um vetor x y é:
Vamos aplicar essa fórmula para qualquer vetor .

Passo 5

Calculando o produto escalar .
Calculando .

Passo 6

Substituindo na fórmula da projeção:
proju (v) = ( x + y2 ) 1 1 = x + y2 x + y2

Passo 7

Agora, queremos expressar isso como uma transformação linear x y aplicada a P x y = 12x + 12y 12x + 12y . Observamos que:
P = 12 & 12 12 & 12
Isso pode ser representado por uma matriz:

Resposta

A transformação linear que projeta qualquer vetor P = 12 & 12 12 & 12 sobre a reta é dada pela matriz

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