Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segunda a lei r=(cos 2 t) i+(sen 2 t) j+k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, já que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição nos dá a posição da partícula em cada instante de tempo . Para encontrar a velocidade , precisamos derivar cada componente de em relação ao tempo .

Passo 3

Vamos derivar cada componente de ddt [cos 2t] = -2 sen 2t :
  1. Componente i:
  2. Componente j:
    ddt [sen 2t] = 2 cos 2t
  3. Componente k:
    ddt [1] = 0

Passo 4

Agora, juntando essas derivadas, temos o vetor velocidade v = (-2 sen 2t) i + (2 cos 2t) j + 0 k :
Ou simplificando:

Passo 5

Para encontrar a aceleração ddt [-2 sen 2t] = -4 cos 2t , fazemos a derivada da velocidade ddt [2 cos 2t] = -4 sen 2t em relação ao tempo . Vamos derivar cada componente de :
  1. Componente i:
  2. Componente j:

Passo 6

Juntando essas derivadas, obtemos o vetor aceleração a = (-4 cos 2t) i + (-4 sen 2t) j :
Ou simplificando:

Resposta

Portanto, os vetores velocidade e aceleração da partícula são:

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