Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segunda a lei
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, já que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição
nos dá a posição da partícula em cada instante de tempo
. Para encontrar a velocidade
, precisamos derivar cada componente de
em relação ao tempo
.
Passo 3
Vamos derivar cada componente de
:
-
Componente i:
-
Componente j:
-
Componente k:
Passo 4
Agora, juntando essas derivadas, temos o vetor velocidade
:
Ou simplificando:
Passo 5
Para encontrar a aceleração
, fazemos a derivada da velocidade
em relação ao tempo
. Vamos derivar cada componente de
:
-
Componente i:
-
Componente j:
Passo 6
Juntando essas derivadas, obtemos o vetor aceleração
:
Ou simplificando:
Resposta
Portanto, os vetores velocidade e aceleração da partícula são:
Exercícios relacionados
Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração em um instante qualquer
.
Uma partícula descreve uma trajetória contida num plano, sendo o vetor posição da partícula dado por:
, onde as constantes são dadas no sistema SI. Determine: (a) o vetor velocidade;
Uma partícula se move em um plano de acordo com as seguintes equações:
onde
e R são constantes. Esta curva, chamada de ciclóide, é um caminho traçado por um ponto no arco de uma roda que rola sem deslizamento ao longo do eixo x. Calcule a velocidade instantânea e a aceleração instantânea quando a partícula se encontra nos valores de máximo e mínimo de y.
Um mergulhador de massa de
pula de um trampolim a
acima da água. Se sua descida é parada 2,00s após ele entrar na água, qual foi a força média para cima exercida pela água sobre ele.