Uma partícula se move em um plano de acordo com as seguintes equações:
onde
e R são constantes. Esta curva, chamada de ciclóide, é um caminho traçado por um ponto no arco de uma roda que rola sem deslizamento ao longo do eixo x. Calcule a velocidade instantânea e a aceleração instantânea quando a partícula se encontra nos valores de máximo e mínimo de y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula que segue uma ciclóide, que é um caminho típico de um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar. A nossa missão é calcular a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da partícula nos pontos onde a coordenada
está no seu valor máximo e mínimo. Para isso, vamos precisar usar derivadas das funções de posição para encontrar a velocidade e a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações que descrevem a posição da partícula no plano:
Aqui,
é o raio da roda e
é a velocidade angular.
Passo 3
Para encontrar a velocidade instantânea, a gente precisa derivar as funções de posição em relação ao tempo
. A velocidade é basicamente a taxa de variação da posição, então:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Vamos começar com a derivada de
:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos derivar
:
Passo 6
Show! Agora, para achar a aceleração instantânea, precisamos derivar novamente as funções de velocidade:
Vamos às contas.
Passo 7
Derivando
:
Passo 8
Derivando
:
Passo 9
Agora, vamos descobrir em quais instantes
atinge seus valores máximos e mínimos. Olhando a função:
A função
varia entre -1 e 1, então:
- Máximo de y: quando
⇒ - Mínimo de y: quando
⇒
Isso acontece nos valores de
onde
(máximo) e
(mínimo).
Passo 10
No ponto onde
está no máximo (
):
Substituindo na velocidade e na aceleração:
Passo 11
No ponto onde
está no mínimo (
):
Substituindo na velocidade e na aceleração:
Resposta
-
Quando
está no máximo: A velocidade instantânea é e a aceleração instantânea é . -
Quando
está no mínimo: A velocidade instantânea é e a aceleração instantânea é .
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.
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.
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