Uma partícula se move em um plano de acordo com as seguintes equações:
onde e R são constantes. Esta curva, chamada de ciclóide, é um caminho traçado por um ponto no arco de uma roda que rola sem deslizamento ao longo do eixo x. Calcule a velocidade instantânea e a aceleração instantânea quando a partícula se encontra nos valores de máximo e mínimo de y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula que segue uma ciclóide, que é um caminho típico de um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar. A nossa missão é calcular a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da partícula nos pontos onde a coordenada está no seu valor máximo e mínimo. Para isso, vamos precisar usar derivadas das funções de posição para encontrar a velocidade e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações que descrevem a posição da partícula no plano:
Aqui, é o raio da roda e é a velocidade angular.

Passo 3

Para encontrar a velocidade instantânea, a gente precisa derivar as funções de posição em relação ao tempo . A velocidade é basicamente a taxa de variação da posição, então:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Vamos começar com a derivada de :
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, vamos derivar :

Passo 6

Show! Agora, para achar a aceleração instantânea, precisamos derivar novamente as funções de velocidade:
Vamos às contas.

Passo 7

Derivando :

Passo 8

Derivando :

Passo 9

Agora, vamos descobrir em quais instantes atinge seus valores máximos e mínimos. Olhando a função:
A função varia entre -1 e 1, então:
  • Máximo de y: quando
  • Mínimo de y: quando
Isso acontece nos valores de onde (máximo) e (mínimo).

Passo 10

No ponto onde está no máximo ( ):
Substituindo na velocidade e na aceleração:

Passo 11

No ponto onde está no mínimo ( ):
Substituindo na velocidade e na aceleração:

Resposta

  • Quando está no máximo: A velocidade instantânea é e a aceleração instantânea é .
  • Quando está no mínimo: A velocidade instantânea é e a aceleração instantânea é .

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