Uma partícula se move em um plano de acordo com as seguintes equações:
x=R sen(omega t)+omega R t ; y=R cos (omega t)+R
onde omega e R são constantes. Esta curva, chamada de ciclóide, é um caminho traçado por um ponto no arco de uma roda que rola sem deslizamento ao longo do eixo x. Calcule a velocidade instantânea e a aceleração instantânea quando a partícula se encontra nos valores de máximo e mínimo de y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento de uma partícula que segue uma ciclóide, que é um caminho típico de um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar. A nossa missão é calcular a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da partícula nos pontos onde a coordenada está no seu valor máximo e mínimo. Para isso, vamos precisar usar derivadas das funções de posição para encontrar a velocidade e a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações que descrevem a posição da partícula no plano:
x(t) = R sin(omega t) + omega R t y(t) = R cos(omega t) + R
Aqui, é o raio da roda e é a velocidade angular.

Passo 3

Para encontrar a velocidade instantânea, a gente precisa derivar as funções de posição em relação ao tempo vx(t) = dxdt vy(t) = dydt . A velocidade é basicamente a taxa de variação da posição, então:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Vamos começar com a derivada de vx(t) = ddt [ R sin(omega t) + omega R t ] = R omega cos(omega t) + omega R :
vx(t) = omega R ( cos(omega t) + 1 )
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, vamos derivar vy(t) = ddt [ R cos(omega t) + R ] = - R omega sin(omega t) :

Passo 6

Show! Agora, para achar a aceleração instantânea, precisamos derivar novamente as funções de velocidade:
ax(t) = dvxdt ay(t) = dvydt
Vamos às contas.

Passo 7

Derivando ax(t) = ddt [ omega R ( cos(omega t) + 1 ) ] = - omega^2 R sin(omega t ) :

Passo 8

Derivando ay(t) = ddt [ - R omega sin(omega t) ] = - R omega^2 cos(omega t ) :

Passo 9

Agora, vamos descobrir em quais instantes y(t) = R cos(omega t) + R atinge seus valores máximos e mínimos. Olhando a função:
A função varia entre -1 e 1, então:
  • Máximo de y: quando
  • Mínimo de y: quando
Isso acontece nos valores de onde (máximo) e (mínimo).

Passo 10

No ponto onde vx = omega R (1 + 1) = 2 omega R vy = - R omega cdot 0 = 0 ax = - omega^2 R cdot 0 = 0 ay = - R omega^2 cdot 1 = - R omega^2 está no máximo ( ):
Substituindo na velocidade e na aceleração:

Passo 11

No ponto onde vx = omega R (-1 + 1) = 0 vy = - R omega cdot 0 = 0 ax = - omega^2 R cdot 0 = 0 ay = - R omega^2 cdot (-1) = R omega^2 está no mínimo ( ):
Substituindo na velocidade e na aceleração:

Resposta

  • Quando está no máximo: A velocidade instantânea é e a aceleração instantânea é .
  • Quando está no mínimo: A velocidade instantânea é e a aceleração instantânea é .

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