Determinar se os vetores v1, v2 (e v3, conforme o caso) são LI ou LD:
v1=2 t^2+4 t-3 e v2=4 t^2+8 t-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se os vetores v1 e v2 são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente analisando a independência linear de vetores que são funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem linearmente dependentes ou independentes. Vetores são linearmente independentes (LI) se nenhum deles puder ser escrito como uma combinação linear do outro. Por outro lado, são linearmente dependentes (LD) se pelo menos um dos vetores puder ser expresso como uma combinação linear dos outros.

Passo 3

No nosso caso, temos:
v1 = 2t^2 + 4t - 3
v2 = 4t^2 + 8t - 6
Vamos investigar se existe um número real k tal que v2 = k cdot v1.

Passo 4

Para isso, vamos comparar os coeficientes de cada termo de v2 com k vezes os coeficientes de v1:
4t^2 = k cdot 2t^2 Rightarrow k = 42 = 2
8t = k cdot 4t Rightarrow k = 84 = 2
-6 = k cdot (-3) Rightarrow k = -6-3 = 2
Vemos que o valor de k é consistente em todos os termos, igual a 2.

Passo 5

Como existe um número real k = 2 que satisfaz v2 = 2 cdot v1, isso significa que v2 pode ser escrito como uma combinação linear de v1. Portanto, os vetores são linearmente dependentes (LD).

Resposta

Os vetores v1 e v2 são Linearmente Dependentes (LD).

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