Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaço de R^2 ? Justifique.
(b) W=(x, x^2) mid x in R

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos saber se o conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial. Vamos precisar verificar se satisfaz três condições:
  1. Conter o vetor zero.
  2. Ser fechado sob adição.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiramente, verificamos se o conjunto (x, x^2) = (0, 0^2) = (0, 0) contém o vetor zero de , que é . Substituindo na definição de , temos:
Então, contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos verificar se (u, u^2) e (v, v^2) é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em (u + v, u^2 + v^2) , a soma deles também deve estar em (u + v, u^2 + v^2) = (w, w^2) . Vamos considerar dois vetores em u + v = w e u^2 + v^2 = w^2 :
u^2 + v^2 = (u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2
A soma desses vetores é:
0 = 2uv
Para que seja fechado sob adição, deve existir algum tal que:
Isso implicaria que:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Isso só é verdadeiro se ou . Portanto, a soma de dois vetores em nem sempre pertence a .

Passo 4

Como não é fechado sob adição, já podemos concluir que não é um subespaço de . Não é necessário verificar a condição de fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de , pois não é fechado sob adição.

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