Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos saber se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial. Vamos precisar verificar se
satisfaz três condições:
- Conter o vetor zero.
- Ser fechado sob adição.
- Ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiramente, verificamos se o conjunto
contém o vetor zero de
, que é
. Substituindo
na definição de
, temos:
Então,
contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos considerar dois vetores em
:
A soma desses vetores é:
Para que
seja fechado sob adição, deve existir algum
tal que:
Isso implicaria que:
Substituindo
na segunda equação:
Simplificando:
Isso só é verdadeiro se
ou
. Portanto, a soma de dois vetores em
nem sempre pertence a
.
Passo 4
Como
não é fechado sob adição, já podemos concluir que
não é um subespaço de
. Não é necessário verificar a condição de fechamento sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
, pois não é fechado sob adição.