Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(1,1),(-1,0) bases ordenadas de R^2. Determine:
(b) [I]beta^gamma

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três bases ordenadas de R^2:
  • alpha = (1,0), (0,1)
  • beta = (-1,1), (1,1)
  • gamma = (1,1), (-1,0)
A tarefa é determinar a matriz de mudança de base [I]beta^gamma. Isso significa que queremos encontrar uma matriz que converta coordenadas de um vetor na base beta para a base gamma. Para isso, vamos precisar entender como cada vetor da base beta é representado na base gamma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. A matriz [I]beta^gamma transforma as coordenadas de um vetor da base beta para a base gamma. Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base beta em termos dos vetores da base gamma.

Passo 3

Vamos começar expressando o primeiro vetor da base beta, que é v1 = (-1,1), como uma combinação linear dos vetores da base gamma, ou seja, v1 = a(1,1) + b(-1,0). Precisamos encontrar os coeficientes a e b que satisfazem essa igualdade.
Isso nos dá o sistema de equações:
a - b = -1 a = 1
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, sabemos que a = 1. Substituindo na primeira equação:
1 - b = -1 implies b = 2
Portanto, v1 = 1 cdot (1,1) + 2 cdot (-1,0), o que nos dá as coordenadas (1,2) na base gamma.

Passo 4

Agora, vamos expressar o segundo vetor da base beta, v2 = (1,1), como uma combinação linear dos vetores da base gamma: v2 = c(1,1) + d(-1,0). Precisamos encontrar os coeficientes c e d.
Isso nos dá o sistema de equações:
c - d = 1 c = 1
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, c = 1. Substituindo na primeira:
1 - d = 1 implies d = 0
Portanto, v2 = 1 cdot (1,1) + 0 cdot (-1,0), o que nos dá as coordenadas (1,0) na base gamma.

Passo 5

Com as coordenadas de v1 e v2 na base gamma, podemos construir a matriz de mudança de base [I]beta^gamma. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor da base beta expressas na base gamma.
Assim, temos:
[I]beta^gamma = 1 & 1 2 & 0

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta^gamma é:
[I]beta^gamma = 1 & 1 2 & 0

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