Sejam
e
bases ordenadas de
. Determine:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três bases ordenadas de
:
A tarefa é determinar a matriz de mudança de base
. Isso significa que queremos encontrar uma matriz que converta coordenadas de um vetor na base
para a base
. Para isso, vamos precisar entender como cada vetor da base
é representado na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. A matriz
transforma as coordenadas de um vetor da base
para a base
. Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base
em termos dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos começar expressando o primeiro vetor da base
, que é
, como uma combinação linear dos vetores da base
, ou seja,
. Precisamos encontrar os coeficientes
e
que satisfazem essa igualdade.
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, sabemos que . Substituindo na primeira equação:
Da segunda equação, sabemos que
Portanto,
, o que nos dá as coordenadas
na base
.
Passo 4
Agora, vamos expressar o segundo vetor da base
,
, como uma combinação linear dos vetores da base
:
. Precisamos encontrar os coeficientes
e
.
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Da segunda equação,
Portanto,
, o que nos dá as coordenadas
na base
.
Passo 5
Com as coordenadas de
e
na base
, podemos construir a matriz de mudança de base
. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor da base
expressas na base
.
Assim, temos:
Resposta
A matriz de mudança de base
é: