Determinar os vetores projeção de v=4i-3j+2k sobre o eixo cartesiano x, y e z.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores projeção do vetor v = 4i - 3j + 2k sobre os eixos cartesianos x, y e z. Isso envolve o conteúdo de projeção vetorial e conceitos de geometria vetorial. Para resolver, vamos usar fórmulas de projeção e entender como decompor um vetor nos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é projeção de um vetor sobre um eixo. Projetar um vetor sobre um eixo significa encontrar a parte desse vetor que está na direção desse eixo. Por exemplo, projetar v sobre o eixo x significa achar quanto do vetor v está apontando na direção x.
Passo 3
A projeção de um vetor v sobre um eixo unitário u é dada pela fórmula:
Onde “
” é o produto escalar entre os vetores.
Passo 4
No caso dos eixos cartesianos, os vetores unitários são:
- Eixo x: i = (1, 0, 0)
- Eixo y: j = (0, 1, 0)
- Eixo z: k = (0, 0, 1)
Então, vamos calcular a projeção de v sobre cada um desses eixos.
Passo 5
Vamos começar com o eixo x:
Isso significa que a projeção de v no eixo x é 4 unidades ao longo de i.
Passo 6
Agora, a projeção sobre o eixo y:
Então, a projeção de v no eixo y é -3 unidades ao longo de j.
Passo 7
Por fim, a projeção sobre o eixo z:
Então, a projeção de v no eixo z é 2 unidades ao longo de k.
Resposta
As projeções do vetor v = 4i - 3j + 2k sobre os eixos cartesianos são:
- x: 4i
- y: -3j
- z: 2k