Determinar os vetores projeção de v=4i-3j+2k sobre o eixo cartesiano x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores projeção do vetor v = 4i - 3j + 2k sobre os eixos cartesianos x, y e z. Isso envolve o conteúdo de projeção vetorial e conceitos de geometria vetorial. Para resolver, vamos usar fórmulas de projeção e entender como decompor um vetor nos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é projeção de um vetor sobre um eixo. Projetar um vetor sobre um eixo significa encontrar a parte desse vetor que está na direção desse eixo. Por exemplo, projetar v sobre o eixo x significa achar quanto do vetor v está apontando na direção x.

Passo 3

A projeção de um vetor v sobre um eixo unitário u é dada pela fórmula:
Proju v = ( v cdot uu cdot u ) u
Onde “ cdot” é o produto escalar entre os vetores.

Passo 4

No caso dos eixos cartesianos, os vetores unitários são:
  • Eixo x: i = (1, 0, 0)
  • Eixo y: j = (0, 1, 0)
  • Eixo z: k = (0, 0, 1)
Então, vamos calcular a projeção de v sobre cada um desses eixos.

Passo 5

Vamos começar com o eixo x:
Proji v = ( (4)(1) + (-3)(0) + (2)(0)1^2 + 0^2 + 0^2 ) i = 4i
Isso significa que a projeção de v no eixo x é 4 unidades ao longo de i.

Passo 6

Agora, a projeção sobre o eixo y:
Projj v = ( (4)(0) + (-3)(1) + (2)(0)0^2 + 1^2 + 0^2 ) j = -3j
Então, a projeção de v no eixo y é -3 unidades ao longo de j.

Passo 7

Por fim, a projeção sobre o eixo z:
Projk v = ( (4)(0) + (-3)(0) + (2)(1)0^2 + 0^2 + 1^2 ) k = 2k
Então, a projeção de v no eixo z é 2 unidades ao longo de k.

Resposta

As projeções do vetor v = 4i - 3j + 2k sobre os eixos cartesianos são:
  • x: 4i
  • y: -3j
  • z: 2k

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