Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t. Determinar, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
r(t) = e' i + e^(-2t) j ; t = ln(2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante , e depois calcular o módulo desses vetores quando . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais. Vamos precisar saber como derivar componentes de vetores e calcular módulos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a posição vetorial dada:
Aqui, é a componente na direção e na direção .

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor velocidade , precisamos derivar em relação ao tempo :
Vamos derivar cada componente separadamente.

Passo 4

Derivando a componente em :
E a componente em :
Então, o vetor velocidade fica:

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor aceleração , derivamos em relação a :
Vamos novamente derivar cada componente.

Passo 6

Derivando a componente em de :
E a componente em :
Então, o vetor aceleração fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo dos vetores velocidade e aceleração no instante .
Primeiro, para a velocidade:
Sabemos que e . Então:
O módulo é:

Passo 8

Agora, para a aceleração:
Usando novamente e :
O módulo é:

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante são:
No instante , os módulos são:

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