Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante
. Determinar, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante
, e depois calcular o módulo desses vetores quando
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas de funções vetoriais. Vamos precisar saber como derivar componentes de vetores e calcular módulos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a posição vetorial dada:
Aqui,
é a componente na direção
e
na direção
.
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor velocidade
, precisamos derivar
em relação ao tempo
:
Vamos derivar cada componente separadamente.
Passo 4
Derivando a componente em
:
E a componente em
:
Então, o vetor velocidade fica:
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor aceleração
, derivamos
em relação a
:
Vamos novamente derivar cada componente.
Passo 6
Derivando a componente em
de
:
E a componente em
:
Então, o vetor aceleração fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular o módulo dos vetores velocidade e aceleração no instante
.
Primeiro, para a velocidade:
Sabemos que
e
. Então:
O módulo é:
Passo 8
Agora, para a aceleração:
Usando novamente
e
:
O módulo é:
Resposta
Os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante
são:
No instante
, os módulos são:
Exercícios relacionados
b)
Encontre o limite indicado, se ele existir
(d) Calcular
(d)
Nos exercícios a seguir, encontre o produto
.
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Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.