Nos exercícios a seguir, encontre o produto .
©

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o produto entre a primeira derivada da função vetorial e a segunda derivada dela, ou seja, . Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função duas vezes e depois calcular o produto escalar entre essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função dada é:
Para derivar essa função em relação a , derivamos cada componente separadamente.

Passo 3

Derivando o primeiro termo:
E o segundo termo:
Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada derivando novamente:
Derivando cada componente:
Para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Portanto, a segunda derivada é:

Passo 5

Agora que temos e , vamos calcular o produto escalar entre elas. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas:

Passo 6

Vamos simplificar as expressões:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, o produto escalar fica:

Resposta

O produto é:

Exercícios relacionados

Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante . Determinar, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
-Determines se as séries são convergentes:
b)
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.