Nos exercícios a seguir, encontre o produto sigma'(t) * sigma''(t).
© sigma(t) = e^(2t) i + e^(-2t) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o produto entre a primeira derivada da função vetorial sigma(t) e a segunda derivada dela, ou seja, sigma'(t) * sigma''(t). Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função sigma(t) duas vezes e depois calcular o produto escalar entre essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de sigma(t). A função dada é:
Para derivar essa função em relação a t, derivamos cada componente separadamente.

Passo 3

Derivando o primeiro termo:
E o segundo termo:
Então, a primeira derivada é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada sigma''(t) derivando sigma'(t) novamente:
Derivando cada componente:
Para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Portanto, a segunda derivada é:

Passo 5

Agora que temos sigma'(t) e sigma''(t), vamos calcular o produto escalar entre elas. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas:

Passo 6

Vamos simplificar as expressões:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, o produto escalar fica:

Resposta

O produto sigma'(t) * sigma''(t) é:

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