Nos exercícios a seguir, encontre o produto
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o produto entre a primeira derivada da função vetorial
e a segunda derivada dela, ou seja,
. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função
duas vezes e depois calcular o produto escalar entre essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A função dada é:
Para derivar essa função em relação a
, derivamos cada componente separadamente.
Passo 3
Derivando o primeiro termo:
E o segundo termo:
Então, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
derivando
novamente:
Derivando cada componente:
Para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
Portanto, a segunda derivada é:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos calcular o produto escalar entre elas. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas:
Passo 6
Vamos simplificar as expressões:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, o produto escalar fica:
Resposta
O produto
é:
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Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante
. Determinar, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.
b)
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.