Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. Temos a série e queremos usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma para um número específico) ou diverge (não soma para nenhum número). Para isso, vamos precisar lembrar como funciona o Teste da Integral e aplicar ele nessa série.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teste da Integral? Ele nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries infinitas utilizando integrais. A ideia é que, se tivermos uma função que é contínua, positiva e decrescente para (onde é algum número natural), então a série converge se a integral também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Observamos que os termos da série podem ser escritos como , ou seja, a série é . Aqui, a função correspondente é . Precisamos verificar se é contínua, positiva e decrescente para .
  • Contínua: Sim, é contínua para todo .
  • Positiva: Sim, é sempre positiva para .
  • Decrescente: Sim, conforme aumenta, diminui.
Portanto, podemos usar o Teste da Integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral :
Primeiro, calculamos a antiderivada de :
Agora, aplicamos os limites:

Passo 5

A integral resultou em , que é um número finito. Segundo o Teste da Integral, isso significa que a série também converge.

Resposta

A série converge.

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