Encontre o limite indicado, se ele existir
(d)
Calcular
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite da função vetorial
quando
se aproxima de 3. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites e funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar cada componente da função
e depois calcular o limite individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente
da função:
. Note que se substituirmos
diretamente, o denominador vira zero, o que é indeterminado. Então, precisamos simplificar essa fração.
Passo 3
Para simplificar
, vamos tentar fatorar o numerador. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Infelizmente,
não se fatora facilmente com números inteiros, então aqui não conseguimos simplificar mais. Nesse caso, percebemos que o limite nessa componente não existe porque o denominador se aproxima de zero e o numerador não se anula.
Passo 4
Agora, vamos para a componente
:
. Aqui também, se colocarmos
, teremos denominador zero. Mas vamos tentar fatorar o numerador.
Passo 5
Fatorando
, procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. São -2 e -3. Então:
Agora, a fração fica:
Podemos simplificar cancelando o
:
Passo 6
Agora que simplificamos, podemos calcular o limite:
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 3 é
.
Exercícios relacionados
Se
, então
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(l)
(l)
b)
Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante
. Determinar, ainda, o módulo desses vetores no instante dado.