-Determines se as séries são convergentes:
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
é convergente. Esse problema pertence ao estudo de Séries Infinitas na matemática, especificamente sobre critério de convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar o termo geral da série e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Observamos que o numerador é um produto de termos que aumentam de 3 em 3, começando em 1. Podemos expressar esse produto de forma mais geral.
Passo 3
O produto
pode ser reescrito usando a notação de produto:
No entanto, para facilitar a análise, vamos aproximar esse produto. Observando que cada termo é aproximadamente
, podemos simplificar para entender o comportamento assintótico.
Passo 4
Aproximando cada termo do produto por
, temos:
Portanto, podemos aproximar o termo geral da série como:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries com fatoriais e exponenciais.
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Simplificando:
Passo 7
No Teste da Razão, se
, a série diverge. Aqui,
, então concluímos que a série
diverge.
Resposta
A série
não converge; ela diverge.