(3 , 0 p)-Determines se as séries são convergentes:
b) sumn=1^infty 1 cdot 4 cdot 7 ldots(3 n+1)n^5

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumn=1^infty 1 cdot 4 cdot 7 ldots (3n+1)n^5 é convergente. Esse problema pertence ao estudo de Séries Infinitas na matemática, especificamente sobre critério de convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar o termo geral da série e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: an = 1 cdot 4 cdot 7 ldots (3n+1)n^5. Observamos que o numerador é um produto de termos que aumentam de 3 em 3, começando em 1. Podemos expressar esse produto de forma mais geral.

Passo 3

O produto 1 cdot 4 cdot 7 ldots (3n+1) pode ser reescrito usando a notação de produto:
prodk=0^n (3k +1)
No entanto, para facilitar a análise, vamos aproximar esse produto. Observando que cada termo é aproximadamente 3k, podemos simplificar para entender o comportamento assintótico.

Passo 4

Aproximando cada termo do produto por 3k, temos:
prodk=1^n (3k) = 3^n cdot n!
Portanto, podemos aproximar o termo geral da série como:
an approx 3^n cdot n!n^5

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de an approx 3^n cdot n!n^5 quando n tende ao infinito. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries com fatoriais e exponenciais.

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Simplificando:
L = limn to infty an+1an = limn to infty 3^n+1 cdot (n+1)!(n+1)^5 cdot n^53^n cdot n! = 3 cdot limn to infty n^5(n+1)^5 cdot (n+1)

Passo 7

No Teste da Razão, se L > 1, a série diverge. Aqui, L = 3 > 1, então concluímos que a série sumn=1^infty 1 cdot 4 cdot 7 ldots (3n+1)n^5 diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1 cdot 4 cdot 7 ldots (3n+1)n^5 não converge; ela diverge.

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