Para se determinar o volume maciço de um paralelepípedo de base quadrada de lado L e de altura H com um furo de lado I e com a mesma altura H (figura ao lado). Mediram-se 5 vezes os lados L e I. O lado L foi medido obtendo-se barL=6,2155 cm com Sigma(Li-L)^2=0 , 9 4 7 3 9 c m ^ 2 e o lado I = 3 , 3 2 5 pm 0 , 0 5 5 c m. A altura H foi medida com uma régua milimetrada obtendo-se:
H(cm) 15,42 15,55 15,50 15,57 15,33
Qual das medidas, L ou H , foi obtida com maior precisão? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir qual das medidas foi feita com mais precisão: o lado $ L $ ou a altura $ H $ de um paralelepípedo com base quadrada. Vamos precisar entender os conceitos de média, desvio padrão e incerteza nas medições para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Lado $ L $:
    • Média ($ \overline{L} $) = 6,2155 cm
    • Soma dos quadrados das diferenças ($ \Sigma(L_i - \overline{L})^2 $) = 0,94739 cm²
  • Lado $ I $:
    • Medida = 3,325 cm
    • Incerteza = ±0,055 cm
  • Altura $ H $:
    • Medidas: 15,42 cm; 15,55 cm; 15,50 cm; 15,57 cm; 15,33 cm

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão das medidas de $ L $ e $ H $ para entender a dispersão das medições, que está relacionada à precisão.
Para o lado $ L L ã \sigma_L $) é calculado usando a fórmula:
H
Onde $ n = 5 $.
Substituindo os valores:
L

Passo 4

Agora, vamos calcular a média ($ \overline{H} H ç \Sigma(H_i - \overline{H})^2 $) para a altura $ H $.
Primeiro, calculamos a média:
Sigma(Hi - H)^2
Agora, calculamos $ \Sigma(H_i - \overline{H})^2 $:
H
H = 15,42 + 15,55 + 15,50 + 15,57 + 15,335 = 77,375 = 15,474 cm
Sigma(Hi - H)^2 ²
Então, o desvio padrão ($ \sigma_H $) é:
Sigma(Hi - H)^2 = (15,42 - 15,474)^2 + (15,55 - 15,474)^2 + (15,50 - 15,474)^2 + (15,57 - 15,474)^2 + (15,33 - 15,474)^2

Passo 5

Agora que temos os desvios padrão:
  • $ \sigma_L \approx 0,4867 $ cm
  • $ \sigma_H \approx 0,0991 $ cm
Menor desvio padrão significa que as medições estão mais próximas da média, ou seja, são mais precisas.

Resposta

A altura $ H $ foi medida com maior precisão, pois o desvio padrão de $ H $ (≈0,0991 cm) é menor que o de $ L $ (≈0,4867 cm), indicando menor variação nas medições de $ H $.

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