Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotaçāo, em torno do eixo dos I, da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que determinar o volume de um sólido de revolução. Isso significa que vamos girar uma região plana em torno de um eixo para formar um objeto tridimensional. A região
está delimitada pelas curvas
,
,
e
. Vamos precisar usar o cálculo de integrais, especificamente o método dos discos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
. As linhas
e
são linhas verticais que delimitam o intervalo de
de 0 a 2. A linha
é o eixo
, e
é uma reta que intercepta o eixo
em 1 e tem inclinação 1. Ao esboçar, vemos que a região
é um trapézio entre
e
, abaixo da reta
e acima do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como calcular o volume quando essa região é girada em torno do eixo
. Usaremos o método dos discos, que consiste em cortar o sólido em discos infinitesimais perpendiculares ao eixo de rotação e somar os volumes desses discos.
A fórmula para o volume
usando esse método é:
Onde:
-
é a função que descreve a borda da região (neste caso, ). -
e são os limites de integração (neste caso, 0 e 2).
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com os valores do nosso problema:
Antes de integrar, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliada de 0 a 2, temos:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos o resultado da integral por
para obter o volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
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Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
;
Usando integral definida prove que a área de um triângulo retângulo de catetos
e
é igual a
.
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
.