Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotaçāo, em torno do eixo dos I, da regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo . e :

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que determinar o volume de um sólido de revolução. Isso significa que vamos girar uma região plana em torno de um eixo para formar um objeto tridimensional. A região está delimitada pelas curvas , , e . Vamos precisar usar o cálculo de integrais, especificamente o método dos discos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . As linhas e são linhas verticais que delimitam o intervalo de de 0 a 2. A linha é o eixo , e é uma reta que intercepta o eixo em 1 e tem inclinação 1. Ao esboçar, vemos que a região é um trapézio entre e , abaixo da reta e acima do eixo .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como calcular o volume quando essa região é girada em torno do eixo . Usaremos o método dos discos, que consiste em cortar o sólido em discos infinitesimais perpendiculares ao eixo de rotação e somar os volumes desses discos.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é a função que descreve a borda da região (neste caso, ).
  • e são os limites de integração (neste caso, 0 e 2).

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores do nosso problema:
Antes de integrar, vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliada de 0 a 2, temos:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o resultado da integral por para obter o volume:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos . da regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo . e
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos . da regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo . e ;
Usando integral definida prove que a área de um triângulo retângulo de catetos e é igual a .
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos . da regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo . e .