Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos y. da regiāo R delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo R. y = x^3 e y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o volume de um sólido de revolução formado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Primeiro, precisamos entender quais são as curvas e onde elas se encontram.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção das duas curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso nos dá duas soluções: e . Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região que está entre e . Entre esses pontos, observamos que está acima de porque, para , .

Passo 4

Para calcular o volume pelo método dos cilindros, usamos a fórmula:
Aqui, é a altura da casca cilíndrica, que no nosso caso é a diferença entre as duas funções:
Os limites de integração são de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 7

Multiplicando o resultado da integral por :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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