Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o volume de um sólido de revolução formado pela rotação da região
delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Primeiro, precisamos entender quais são as curvas e onde elas se encontram.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção das duas curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso nos dá duas soluções:
e
. Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região
que está entre
e
. Entre esses pontos, observamos que
está acima de
porque, para
,
.
Passo 4
Para calcular o volume pelo método dos cilindros, usamos a fórmula:
Aqui,
é a altura da casca cilíndrica, que no nosso caso é a diferença entre as duas funções:
Os limites de integração são de
a
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 7
Multiplicando o resultado da integral por
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
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Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
;
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
.
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotaçāo, em torno do eixo dos I, da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
:
Usando integral definida prove que a área de um triângulo retângulo de catetos
e
é igual a
.