Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
. As curvas que delimitam a região são:
Então, vamos usar o conteúdo de Cálculo sobre volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos ou anéis. Precisamos identificar as funções que delimitam a região e definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
para entender melhor o que estamos lidando.
- A curva
é uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade no eixo . - A linha
é uma reta vertical. - As linhas horizontais
e definem os limites inferior e superior da região.
Ao esboçar essas curvas, percebemos que a região
está limitada entre
e
, entre a parábola
e a reta
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o volume do sólido formado ao girar a região
em torno do eixo
. Para isso, usaremos o método dos anéis (ou método dos discos quando não há espaço entre as curvas).
A fórmula geral para o volume
usando o método dos anéis é:
Onde:
-
é o raio externo (a curva mais afastada do eixo de rotação), -
é o raio interno (a curva mais próxima do eixo de rotação), -
e são os limites de integração no eixo .
Passo 4
Identificando
e
:
-
será a distância da curva mais à direita em relação ao eixo . Nesse caso, . -
será a distância da curva mais à esquerda, que é .
Então:
Passo 5
Definindo os limites de integração
e
:
- A região
está limitada entre e , então:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando cada termo:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações. O denominador comum de 5 e 3 é 15:
Então:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Usando integral definida prove que a área de um triângulo retângulo de catetos
e
é igual a
.
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotaçāo, em torno do eixo dos I, da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
:
Em cada item, determine se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Use transformacoes para esbocar o grafico de cada uma das funções: