Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos . da regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo . e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo . As curvas que delimitam a região são:
Então, vamos usar o conteúdo de Cálculo sobre volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos ou anéis. Precisamos identificar as funções que delimitam a região e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região para entender melhor o que estamos lidando.
  • A curva é uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade no eixo .
  • A linha é uma reta vertical.
  • As linhas horizontais e definem os limites inferior e superior da região.
Ao esboçar essas curvas, percebemos que a região está limitada entre e , entre a parábola e a reta .

Passo 3

Agora, vamos determinar o volume do sólido formado ao girar a região em torno do eixo . Para isso, usaremos o método dos anéis (ou método dos discos quando não há espaço entre as curvas).
A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
  • é o raio externo (a curva mais afastada do eixo de rotação),
  • é o raio interno (a curva mais próxima do eixo de rotação),
  • e são os limites de integração no eixo .

Passo 4

Identificando e :
  • será a distância da curva mais à direita em relação ao eixo . Nesse caso, .
  • será a distância da curva mais à esquerda, que é .
Então:

Passo 5

Definindo os limites de integração e :
  • A região está limitada entre e , então:

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando cada termo:
Para :
Para :
Substituindo de volta:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações. O denominador comum de 5 e 3 é 15:
Então:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotaçāo, em torno do eixo dos I, da regiāo delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo . e :
Em cada item, determine se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Use transformacoes para esbocar o grafico de cada uma das funções: