Usando integral definida prove que a área de um triângulo retângulo de catetos e é igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar, usando integral definida, que a área de um triângulo retângulo com catetos de medidas e é igual a . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o triângulo retângulo no plano cartesiano. Vamos posicionar o triângulo de modo que um cateto esteja ao longo do eixo com comprimento e o outro cateto esteja ao longo do eixo com comprimento . Assim, os vértices do triângulo ficam em , e .

Passo 3

Para calcular a área usando a integral definida, precisamos expressar uma das duas funções que formam os lados inclinados do triângulo. Vamos pegar a linha que vai de a . A equação dessa reta pode ser encontrada pela equação da reta que passa por dois pontos.

Passo 4

A equação da reta que passa por e é:
Isso porque o coeficiente angular é a variação de sobre a variação de , ou seja, .

Passo 5

Agora, para encontrar a área sob essa reta desde até , usamos a integral definida:
Á
Essa integral representa a área entre o eixo e a curva da reta, que neste caso é o triângulo.

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo:
Calculando cada parte:

Passo 7

Agora, somando as duas partes:
Á

Resposta

A área do triângulo retângulo é igual a .

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