Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir o volume de um sólido que surge quando a região R é girada em torno do eixo dos
. A região R é delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a área que estamos girando. A região R está entre
e
verticalmente, e entre
(o eixo
) e
determinado por
. Para usar o método dos cilindros, vamos integrar ao longo do eixo
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação
para expressar
em função de
:
Isso nos permite expressar o raio do cilindro como
.
Passo 4
O volume de cada cilindro infinitesimal é dado por
. Neste caso, o raio é
e a altura é a diferença entre o valor de
e
, que é simplesmente
. Assim, a expressão para o volume infinitesimal é:
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
.
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
;
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotaçāo, em torno do eixo dos I, da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
: