Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos y. da regiāo R delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo R. y = ln(x) * y = -1 * y = 2 e x = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir o volume de um sólido que surge quando a região R é girada em torno do eixo dos . A região R é delimitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas), que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a área que estamos girando. A região R está entre e verticalmente, e entre (o eixo ) e determinado por . Para usar o método dos cilindros, vamos integrar ao longo do eixo .

Passo 3

Vamos reescrever a equação para expressar em função de :
Isso nos permite expressar o raio do cilindro como .

Passo 4

O volume de cada cilindro infinitesimal é dado por . Neste caso, o raio é e a altura é a diferença entre o valor de e , que é simplesmente . Assim, a expressão para o volume infinitesimal é:
Agora, vamos integrar essa expressão de a :

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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