Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no estudo de integrais para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde as duas curvas se interceptam e depois configurar a integral adequada para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso nos dá duas soluções:
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de
para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção determinados, precisamos decidir qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos analisar as equações:
Para
:
Isso é verdadeiro nesse intervalo, então a parábola está acima da reta.
Passo 5
A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores no intervalo de integração. Assim, a área
é:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo os limites de integração:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
(Volume da esfera de raio
) Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçāo, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
.
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
.
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
;