Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir: e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no estudo de integrais para calcular áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde as duas curvas se interceptam e depois configurar a integral adequada para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso nos dá duas soluções: e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Com os pontos de interseção determinados, precisamos decidir qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de a . Vamos analisar as equações:
á
Para :
Isso é verdadeiro nesse intervalo, então a parábola está acima da reta.

Passo 5

A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores no intervalo de integração. Assim, a área é:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo os limites de integração:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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