Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir: e .

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede pra encontrar a área da região limitada pelas curvas e . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se encontram e montar a integral que vai nos dar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando é igual a . Então, a gente resolve a equação:
Podemos fatorar isso assim:
Que dá as soluções:
Então, as curvas se interceptam nos pontos , e .

Passo 3

Agora que sabemos os pontos de interceptação, vamos visualizar a região que queremos calcular a área. Entre e , a curva fica abaixo do eixo entre e , e acima entre e .
Para calcular a área, vamos integrar a função em módulo (valor absoluto), ou seja:
Á
Isso porque a área sempre é positiva, independente de a curva estar acima ou abaixo do eixo.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
  1. De a , onde é negativo.
  2. De a , onde é positivo.
Então:
Á
Simplificando:
Á
Vamos calcular cada integral separadamente.
Para a primeira integral:
Avaliada de a :
Como estamos calculando área, consideramos o valor positivo:
Para a segunda integral:
Avaliada de a :
Mais novamente, consideramos o valor positivo:

Resposta

Somando as duas partes, a área total é:
Á
Então, a área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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