Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
.
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede pra encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se encontram e montar a integral que vai nos dar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando
é igual a
. Então, a gente resolve a equação:
Podemos fatorar isso assim:
Que dá as soluções:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
,
e
.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interceptação, vamos visualizar a região que queremos calcular a área. Entre
e
, a curva
fica abaixo do eixo
entre
e
, e acima entre
e
.
Para calcular a área, vamos integrar a função
em módulo (valor absoluto), ou seja:
Isso porque a área sempre é positiva, independente de a curva estar acima ou abaixo do eixo.
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar:
- De
a , onde é negativo. - De
a , onde é positivo.
Então:
Simplificando:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Para a primeira integral:
Avaliada de
a
:
Como estamos calculando área, consideramos o valor positivo:
Para a segunda integral:
Avaliada de
a
:
Mais novamente, consideramos o valor positivo:
Resposta
Somando as duas partes, a área total é:
Então, a área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas em cada item a seguir:
e
;
(Volume da esfera de raio
) Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçāo, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
.
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e
;
Determinar o volume do sólido de revoluçāo gerado pela rotação, em torno do eixo dos
. da regiāo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Esboce a regiāo
.
e