Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de:
e
em torno do eixo dos
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: precisamos encontrar o volume do sólido que resulta da rotação das curvas
,
e
em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em função de
a partir da equação
.
Passo 3
Identificamos os limites de integração. As curvas
e
determinam que
varia de 0 a 2.
Passo 4
Como vamos girar em torno do eixo dos
, usamos o método dos anéis. A fórmula para o volume
é:
onde
é a função que descreve a distância do eixo de rotação até a curva.
Passo 5
Aqui, a função
é
. Então, substituímos na fórmula:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral:
Calculando a integral termo a termo:
Passo 7
Avaliamos nos limites de integração:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.