Encontrar a área da região limitada pelas curvas:
e
.
Passo 1
Resumo do Problema e Conteúdo Envolvido
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo áreas entre curvas. Precisamos encontrar a área da região limitada pelas seguintes curvas:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração definida, que nos permite calcular a área entre duas curvas em um intervalo específico.
Passo 2
Entendendo as Curvas e o Intervalo
Primeiro, vamos entender como as curvas se comportam:
-
é uma parábola que abre para cima. -
é uma reta inclinada. -
e são linhas verticais que limitam nosso intervalo no eixo .
Vamos visualizar essas curvas para ter uma ideia melhor da área que precisamos calcular.
Passo 3
Encontrando os Pontos de Interseção
Para saber onde as curvas se encontram dentro do intervalo de
a
, igualamos as duas funções:
Resolvendo a equação:
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, as curvas não se intersectam no intervalo considerado. Isso significa que uma das curvas está sempre acima da outra nesse intervalo.
Passo 4
Determinar Qual Curva Está Acima da Outra
Vamos escolher um valor de
dentro do intervalo, por exemplo,
:
- Para
: - Para
:
Como
, a parábola está acima da reta no intervalo de
a
.
Passo 5
Configurando a Integral para a Área
A área entre duas curvas onde uma está acima da outra é dada por:
Aqui,
e
, com
e
.
Então, a integral fica:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Calculando a Integral
Agora, vamos calcular a integral definida:
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 7
Aplicando os Limites de Integração
Vamos calcular a expressão para
e
:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Para
:
Passo 8
Calculando a Área Final
Subtraindo os valores:
Convertendo
para fração com denominador 6:
Então:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.