Encontrar a área da região limitada pelas curvas:
y = x^2 + 1, y = x - 5, x = -3 e x = 5.

Passo 1

Resumo do Problema e Conteúdo Envolvido
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo áreas entre curvas. Precisamos encontrar a área da região limitada pelas seguintes curvas:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração definida, que nos permite calcular a área entre duas curvas em um intervalo específico.

Passo 2

Entendendo as Curvas e o Intervalo
Primeiro, vamos entender como as curvas se comportam:
  • é uma parábola que abre para cima.
  • é uma reta inclinada.
  • e são linhas verticais que limitam nosso intervalo no eixo .
Vamos visualizar essas curvas para ter uma ideia melhor da área que precisamos calcular.

Passo 3

Encontrando os Pontos de Interseção
Para saber onde as curvas se encontram dentro do intervalo de a , igualamos as duas funções:
Resolvendo a equação:
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, as curvas não se intersectam no intervalo considerado. Isso significa que uma das curvas está sempre acima da outra nesse intervalo.

Passo 4

Determinar Qual Curva Está Acima da Outra
Vamos escolher um valor de dentro do intervalo, por exemplo, :
  • Para :
  • Para :
Como , a parábola está acima da reta no intervalo de a .

Passo 5

Configurando a Integral para a Área
A área entre duas curvas onde uma está acima da outra é dada por:
Á
Aqui, e , com e .
Então, a integral fica:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Calculando a Integral
Agora, vamos calcular a integral definida:
Á
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:
Á

Passo 7

Aplicando os Limites de Integração
Vamos calcular a expressão para e :
Para :
Para :
Simplificando:
Para :
Para :

Passo 8

Calculando a Área Final
Subtraindo os valores:
Á
Convertendo para fração com denominador 6:
Então:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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