Encontrar a área da região limitada pelas curvas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo onde precisamos encontrar a área da região que está entre as curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar integrais, que são ferramentas poderosas para calcular áreas entre curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se cruzam.
Passo 2
Primeiro passo: encontrar os pontos de interseção das curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos reorganizar essa equação para deixá-la igual a zero:
Essa é uma equação quadrática da forma
. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Agora, encontrando as raízes:
Isso dá duas soluções:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos descobrir qual delas está acima da outra nesse intervalo de
a
. Vamos testar um valor entre esses pontos, por exemplo,
:
Vemos que
está acima de
nesse intervalo. Isso significa que, para calcular a área entre as curvas, vamos subtrair
de
e integrar essa diferença de
a
.
Passo 4
Vamos montar a integral que representa a área desejada:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos avaliar essa expressão de
a
:
Para
:
Para
:
Agora, subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.