Encontrar a área da região limitada pelas curvas:
y = x^2 e y = -2x + 15.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo onde precisamos encontrar a área da região que está entre as curvas e . Para resolver isso, vamos usar integrais, que são ferramentas poderosas para calcular áreas entre curvas. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se cruzam.

Passo 2

Primeiro passo: encontrar os pontos de interseção das curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos reorganizar essa equação para deixá-la igual a zero:
Essa é uma equação quadrática da forma . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Agora, encontrando as raízes:
Isso dá duas soluções:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos descobrir qual delas está acima da outra nesse intervalo de a . Vamos testar um valor entre esses pontos, por exemplo, :
Vemos que está acima de nesse intervalo. Isso significa que, para calcular a área entre as curvas, vamos subtrair de e integrar essa diferença de a .

Passo 4

Vamos montar a integral que representa a área desejada:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Á

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Vamos avaliar essa expressão de a :
Para :
Para :
Agora, subtraindo os valores:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

Exercícios relacionados